東北大学の数学の入試問題

学校の課題でわからない問題があります

一次変換fを表す行列Pが　　Pの三乗＝E、P≠E　(Pは単位行列)を満たしている。
また、相異なる３点A(１,０)、B(０,２)、C(a,b)のfによる像f(A)、f(B)、f(C)はそれぞれ
A、B、Cのいずれかに一致している。

(１)f(A)、f(B)、f(C)は相異なることを示せ。

(２)f(A)≠A、f(B)≠B、f(C)≠Cを示せ。

(３)a、b、Pを求めよ。

No.6 ベストアンサー 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/06/04 22:35

Ｎｏ．２　です。

　これはしょうがないのかな？

　＃ねぇ、Ｎｏ．１先生。

軽くやりましょう。（元代数学の非常勤講師だからね）

ほんとに軽くしか行かないよ＾＾；


まず問題を見たときに、σ(・・*)が上げた４つを考える。

こういうのはね、やっておくと損にはならない。

確実に、「手持ちの武器が増える」と思ってください。

　＃武器が多い方が強い敵を前にしても、ひるまなくてすむよね。

最初にそういう地道な作業をやっていくと、後々楽よ～。

　＃Ｎｏ．１　先生がやられているのもそうですよ。道筋を立てる！これはすごく大事。


まず、二次元だね。Ａ，Ｂ，Ｃ　の座標が２次元だね。

ってことで、変換する行列は、２×２の正則行列だろうな、って考える。


何で正則かって言うと、もしも逆行列が存在しない否正則の行列だと、

１：１　に点が写像できない！　これは覚えておいてもいいよ＾＾；

　＃写像　って言うのは、点の位置を写し変える！ってことね。

　＃例えば、２×２を　４つ並べるよ　（０　０　０　１）だと

　＃ｘ座標は、そんな点でも、０に行くね。１：１に移動できないね。


じつはこれでもう（１）は終わってる♪

答えは必ず問題の中にあるのだから、この場合も書いてあるよ。

Ｐ＾３＝Ｅ

これがそう。　Ｐを３回やれば、単位行列をかけたことと同じ。

つまりもとの場所に戻るって事ね。

ｆ（Ａ）をｆ　でとばして、ｆｆ（Ａ）　とでも書きますか。

ｆｆｆ（Ａ）　は　（Ｐ＾３）×Ａ　＝（Ｅ）Ａ＝Ａだ。


Ｐ＾３＝Ｅ　だから、こう書ける。

Ｐ＾２＝Ｅ×Ｐ＾（－１）　＝Ｐ＾（－１）　（←逆行列ね）

ってことで、逆行列は存在しないとおかしい。

正則行列だと分かるから、１：１に対応した点に写像が出来る。

やはりこういう風に、問題の中に必ず答えはある！ね。ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ


（２）も同じだ。

Ｐ＝Ｅ　かどうかを調べればいいのは分かるかな？

Ｐ＝Ｅならば、　Ａ＝ｆ（Ａ）だし、ＢＣも同様だ。

そんなに難しくはないだろう＾＾；

それどころか、書いてあるじゃない♪


（１）（２）は見た瞬間なんだ～。問題は（３）。

これは結構ね、厄介よ。


単純に思いつくのは、力技だけど、Ｐ＝（ｅ　ｆ　ｇ　ｈ）　←２×２の行列よ。

と置いておいて、

ｆ（Ａ）＝Ｂ　、　ｆ（Ｂ）＝Ｃ　、　ｆ（Ｃ）＝Ａ　って置いてあげて、

Ｐを求めていけばいい。

これ計算したけど、ｆ（Ａ）＝Ｃ　後同じように、回っていくんだよ、

ちゃんと不都合なく求まるし、Ｐ＾３＝Ｅに落ち着かせるのがポイントになる。


回転行列とやってもいいけど、やらなくても、連立方程式で何とかなるだろう。

とりあえずやってみようか？

それが先。


テクニックじゃないから。理解が先。

技術に走るな！　地道に行きなさい！

今のあなたに必要なものはこれ。

簡単にやってみた。長文ですまないけど、他の問題にもちゃんと通用するように

やってるから、よく読んで理解して置いてくれるかな？

Ｎｏ．１先生も、こんなこと言わなくても分かるだろう？

って言うスタンスなんだよ？　σ(・・*)だって、黙っていれば書かないよ。


テクニックに走っていて、本質見てないからかいてるだけ。


逃げるな！正面からぶつかれ！　近道は誰だって出来るけど、力は付かないよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/04 18:01

(1) と (2) はいずれにしても「真っ向勝負」か「背理法」か, くらいじゃね?

(3) はたとえば「f(A) が B に移る」ときの行列を求める.

No.4 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/06/04 02:46

No.3です。

補足です。

Pは逆回転のものも存在します。
今後の参考とするならば、Pのn乗＝Eのような記述は、x^n=1を複素平面上で解くことと変わりません。
なぜなら、複素数の有無はありますが、フィールドが平面になっているからです。

n乗の部分が、2π/nの回転で表されるということから来ています。

図形を介して、少し異なるような分野の数学がつながるのは、数学好きとしてはなんとも言えない面白さがあります。

この辺は先生に聞いてみるといいでしょう。
知らなかったらモグリです。

この回答への補足

僕らの課程では複素数平面はなくなりました
(2つ下の学年から復活するそうです)

ですので複素数平面を使わない方法をおしえてもらえませんか？

補足日時：2012/06/04 17:31

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/06/04 01:57

大学受験はしたことありませんが、理系院卒です。

x^3=1の解(x≠1)の一つが-1/2+√3/2iというように、平面(この場合は複素平面)上を2π/3だけ回転させることを考えましょう。

すると、
P= cos2π/3 -sin2π/3　=　-1/2 -√3/2
sin2π/3 cos2π/3 √3/2 -1/2

が求めるPになります(検算してください)。回転を表す行列を知っているものとしています。

あとは天下り式に解けると思います。

No.2 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/06/04 01:32

これはちょっと困ったね。

代数学の元非常勤です。

Ｎｏ．１さんの気持ちもよく分かる。うん。。

全く分からないのなら、受けない方がいいね。

問題の（１）の前段階でどこまで分かっているのかな？

悪いけど補足くれますか？


このＰって言う行列は　○×○　の行列？

この行列には、逆行列は存在する？

ｆ（Ａ）、ｆ（Ｂ）、ｆ（Ｃ）　というのを、それぞれ出す方法は分かる？

Ｐ＾３を計算できる？


最低この四つ。これが分からなかったら、どうしようもないよ？

どこまで分からないか補足下さい。

どれかが分からないから　（１）は分かりようがないはずなんだ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)


テクニックで分かろうとしてもダメだから、理解しないと。

線形代数、理解して無いね。しっかりやらなきゃ！

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/04 00:15

でどこがわからないんでしょうか?

この回答への補足

とりあえず全部です
答えをどのように示せばいいのか解法が思いつきません

補足日時：2012/06/04 01:02

この回答へのお礼

あと、Pは単位行列となっていますがEは単位行列の間違いでした

お礼日時：2012/06/04 01:12