nCk=(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck証明

nCk=(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck
の証明問題なのですが、やり方が全くわかりません。
nCk
(n-1)C(k-1)
(n-1)Ck
を全部書きだして、通分して足しても何もなりませんでした……

すいませんが、ご存じの方がいらっしゃいましたらご教授ください。
よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/12 18:24

二項定理 (1+x)^n = (nC0) + (nC1)x + (nC2)x^2 + … + (nCn)x^n

を n について漸化しましょう。(1+x)^n = (1+x)・(1+x)^(n-1) より、

(nC0) + (nC1)x + … + (nCn)x^n = (1+x){ ((n-1)C0) + ((n-1)C1)x + … + ((n-1)C(n-1))x^(n-1) }.

両辺の x^k 項を比較すれば、(nCk)x^k = 1・((n-1)Ck)x^k + x・((n-1)C(k-1))x^(k-1).

すなわち nCk = (n-1)Ck + (n-1)C(k-1).



趣味的な話ですが、私は、nCk = n!/{k!(n-k)!} を定義とするよりも、

二項定理のほうを nCk の定義として、逆に n!/{k!(n-k)!} は導出する

立場のほうが好きだなあ。「二項係数」って、そういう名前でしょ。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/12 13:01

>通分して足しても何もなりませんでした……

分母を共通にして通分し、分子の共通項を括り出すだけでしょう。

(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck
=(n-1)!/((k-1)!(n-k)!) + (n-1)!/(k!(n-k-1)!)
=(n-1)!k/(k!(n-k)!) + (n-1)!(n-k)/(k!(n-k)!)
=(n-1)!(k+(n-k))/(k!(n-k)!)
=(n-1)!n/(k!(n-k)!)
=n!/(k!(n-k)!)
=nCk
(証明終り)

No.3 回答者： KEIS050162 回答日時： 2012/06/12 12:46

＃２です。

失礼、最後の一番肝心なところ間違えました。

｛ｋ＋（ｎ－ｋ）｝｛（ｎ－１）…（ｎ－ｋ＋１）｝　＝　ｎ（ｎ－１）…（ｎ－ｋ＋１）

でした。

No.2 回答者： KEIS050162 回答日時： 2012/06/12 12:44

もっとスマートな方法もあるとは思いますが、ゴリゴリとやっても結構出来ます。

ｎＣｋ＝ｎ（ｎ－１）…（ｎ－ｋ＋１）／ｋ（ｋ－１）…１


(1)（ｎ－１）Ｃ（ｋ－１）＝（ｎ－１）（ｎ－２）…｛（ｎ－１）－（ｋ－１）＋１｝／（ｋ－１）（ｋ－２）…１

　（ｎ－１）Ｃ（ｋ－１）＝（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｋ＋１）／（ｋ－１）（ｋ－２）…１

(2)（ｎ－１）Ｃｋ＝（ｎ－１）（ｎ－２）…｛（ｎ－１）－ｋ＋１｝／ｋ（ｋ－１）…１
　（ｎ－１）Ｃｋ＝（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｋ）／ｋ（ｋ－１）…１


(1)＋(2)　の分母を通分する。
｛(1)の分子　×　ｋ　＋　(2)の分子　｝／ｋ（ｋ－１）…１


これで分母は揃ったので、面倒くさいので、分母は放っておいて、分子だけみる。
(1)の分子×ｋ　と　(2)の分子　の共通因子は、（ｎ－１）…（ｎ－ｋ＋１）なので、

｛ｋ－（ｎ＋ｋ）｝｛（ｎ－１）…（ｎ－ｋ＋１）｝　＝　ｎ（ｎ－１）…（ｎ－ｋ＋１）

これで分母・分子とも一致します。

ご参考に。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/12 10:51

何をどうやって「通分して足しても何もなりませんでした」という結論に達したのでしょうか?

いろいろあると思うがたとえば
n番目を選ぶか選ばないか
でもできる.