Wikipwdiaのマクスウエルの方程式

Question

http://ja.wikipedia.org/wiki/マクスウェルの方程式では、
　div D = ρ、D = εE
となっていますが、学生時代の私の教科書の記載は、
　div E = ρ/ε0
です。

私は自分の教科書の方が正しいように思うのですが、前者(Wikipediaの記載)でも間違いではないのでしょうか？
後者の場合、ρは真電荷、分極電荷を問わず電荷の密度ということになるのだと思うのですが、前者の式の場合はρは分極電荷を含まず真電荷のみということになるのでしょうか？後者の式の場合、真空中で無い限りεがテンソルなのでdiv E = ρ/εと変形できず、結局真空中で無い限り式は役立たないことになってしまいませんでしょうか？

hitokotonusi · Accepted Answer

英語版のほうのwikipediaにはもう少し詳しく書いてあります
http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations

以下はざっくり書きすぎて少々間違ってるかもしれませんが、

ミクロに見ると電荷が存在しているところ以外は真空なので、基本的に真空中のMaxwellの方程式で、電気変位Dも分極Pもでてきません。

媒質をマクロな視点で扱う場合に現象論的な場や物理量としてＤやPが導入されます。モルオーダーの数の原子や電子についての厳密な計算などできませんから。

ddtddtddt · Answer

#7です。返答ありがとうございます。

・・・こうなると、英語を読まないと駄目みたいですね・・・。

ちょっと待って下さい・・・(^^；)。

ddtddtddt · Answer

#6です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations　　　(1)

を読んでない手抜き応答です（英語だからです・・・(^^；)。）

Macroscopicか？Microscopicか？という話はかなり、遠隔作用か？近接作用か？、言いかえれば、積分法則か？微分法則か？、という話につながります。近接作用（微分法則）を信じていたという意味において、マックスウェルは、首尾一貫してMicroscopicだったと思います。

しかしマックスウェルがいくら近接作用を信じたところで、19世紀に手に入る実験結果は、遠隔作用的でMacroscopicな結果ばかりでした。光の速度が有限でないか？という結果は、2つばかりありましたが、光が電磁場である事がわかるのは、ずっと後になってからです。

そうするとマックスウェルは、Macroscopicな現象をMicroscopicな法則で説明する必要に迫られますし、それがファラデイに出会って電磁場の研究に手を染めたマックスウェルの、一つの目標でもありました。熱力学を、統計力学で基礎づけるようなものです。その過程で、物質の誘電率εのような（怪しげな？）量を導入したのは、当然の成り行きだったようにも思えます。

(1)のURLを呼んで、どの辺りにマックスウェルへの不信感（？）を持たれたのでしょうか？。

ddtddtddt · Answer

#2です。結局ご質問の意図は、物質中のマックスウェル方程式の解釈、もしくは背景にある物理モデルの問題だと、受け取って良いのかな？と思いました。

＞そう考えると私にはやはりdivD=ρもdivE=ρ/εもまやかしで、私の教科書にあるdivE=ρ/ε0最も正しいように思えます。

じつは同じ意見なんですよ。なので、

＞少なくとも古典電磁気学では、電荷密度（分極電荷含む）の電場を伝えるのは真空だけ、という物質モデルがあるので・・・

と書いた訳です。

自分も、荷電粒子（真電荷）や分極電荷（電気双極子）の粒々の発生する電場が、その間の真空を伝わると思っています。ただし物質中のマックスウェル方程式を調べてみると、divE=ρ/εのＥは、誘電体への外部電場または、誘電体中の真電荷が発生する電場（もちろん真空を伝わる）を表す一方で、ρ＝[真電荷]＋[分極電荷]になっています。他方Ｄは、Ｅを仮に真電場と呼ぶと、Ｄ＝[真電場の電束]＋[分極電荷の電場（誘導電場で真空を伝わる）の電束]となっています。この意味で、「divD=ρ（電束）の方がマヤカシに見えます」と書きました。

そういう訳で、

＞もし局所的に見るのであれば誘電体の中の荷電粒子が分極電荷として見えて来るはずで、むしろ局所的に等方一様な誘電体というのはあり得ない・・・

はずだ！、と言われれば、「それはそうですね」としか言えません。ただふつうは#5さんも仰っているように、そこまで詳しい定式化は行いません。それは電荷「密度」ρという言葉に、すでに現れています。

電荷の正体が荷電粒子なら、ρは離散的量なので、密度のような連続量と考えるのは、本当は正しくありませんがやってられないので、通常のマクロスケールでは点に見えるが、荷電粒子や電気双極子の粒々は見えてこない程度に小さな微小領域で、平均化し、ρを連続関数のように扱ったのが、物質中のマックスウェル方程式の結果と解釈すべきだと思います。

そうすると、

＞とんなに不均質な材料でも、局所的に見れば均質だと、（一応は）考えられます。

は、誤解を招きますよね。数学モデルとして異方性を仮定すれば、とこまで微小に考えても異方性を持ちます。

ここで言いたかったのは、結局異方性の出現機構も、分極電荷「密度」ρdの分布状況「など」で決まるだろうから、連続関数であるρd「など」を微小領域で考えれば、誘電体は、各微小領域（誘電体の各点）では等方的な材料の集まり、という数学モデルになるだろうという事です。

この微小領域が、実用上の大きさを持てば、実際に、誘電体を数種類の誘電率を持つ等方性材料の集まりとして、計算するはずです。微小領域が、通常のマクロスケールでは点に見えるが、荷電粒子や電気双極子の粒々は見えてこない程度に小さければ、εを位置に関する連続関数として、テンソル化するだろうという話です。

hitokotonusi · Answer

普通に使われている分極や磁化がでてくる電磁気学はマクロな電磁気学と言われているもので、微分形で微小な領域を扱っているといいながらもある程度の大きさの範囲の平均的な振る舞いを見ています。そのあたりはまず理解しておいてください。

ミクロな電磁気学とマクロの電磁気学の差異などを調べられると、すっきりされるかもしれません。

>私の教科書のようにρは分極電荷を含む全ての電荷であるという位置づけならテンソルが登場することも無いのではないでしょうか？

テンソルになるのは結晶場のような原子を取り巻く環境の異方性によるもので、完全結晶のような均一に異方性を持っているような場合でもテンソルは登場します。これは、電荷をどう定義するかとは無関係で、媒質の本性に基づくものです。複屈折というのはご存じと思いますが、この複屈折性の媒質中を伝搬する光の取り扱いではテンソルが必須です。

hitokotonusi · Answer

前者と後者でρの意味を変えるならどちらも等価です。

分極電荷ρpは

ρp = - div P

なので後者の場合ならρをρ＋ρpに置き換えて

ε0 div E = ρ＋ρp　＝　ρ－divＰ
div(ε0 E + Ｐ) = ρ

で、電気変位がＤ＝ε0 E + Ｐなので結局同じになります。

電場がさほど強くない場合は分極Ｐは電場に比例し

P = χE

とかけ、ε0 ＋χが誘電率εなので

D　＝　εE

も成り立ちます。

異方性がある場合は感受率χがテンソルになり、結果、誘電率εもテンソルになります。
これはどちらでも同じです。

ですが・・・・

普通、

＞div E = ρ/ε0

と書いたらρは真電荷で真空中しか使わないと思います。

ddtddtddt · Answer

＞div E = ρ/ε0

においてε0を、物質の誘電率εとすれば、div E = ρ/εが誘電体中でも成立するのは、ご存知と思います。ただし条件が付きます。

・等方一様性を持つ材料（誘電体）においては．　　　(1)

です。大抵最初は、(1)が成り立つような誘電体しか考えませんし、マックスウェルなんかは逆に、等方一様な誘電体で　div E = ρ/ε　が成り立つ事から、真空を誘電率に対する基準物質（もちろん等方一様）のようにみなしていました。

もう一つ注意すべきは、div E = ρ/ε　が局所（微分）法則だという事です。とんなに不均質な材料でも、局所的に見れば均質だと、（一応は）考えられます。例えば、等方一様な誘電体が真空におかれて、空間全体での電場の様子を計算する際には、誘電体中と真空中では、それぞれ　div E = ρ/ε　div E = ρ/ε0　が成り立っていると仮定し、両者の境界で、ＥとＤの接続条件（境界条件）を与えます。

しかし境界条件は、誘電体と真空という材料配置の全体を見渡した時に、初めて必要とわかる条件です。つまり境界条件は、局所（微分）法則でなく、大域条件の一部です。よって境界条件は、局所（微分）法則の話とは別よ、という事になります。

でも誘電体が不均質過ぎて、均質材料の集まりとはみなせない場合もあります。このとき初めて仕方ないので、εをテンソル化する訳です。

ここまでは#1さんと、ほぼ同じと思います。

＞ただし，誘電体も含んだ世界では，divD=ρの方が本質的で，divE=ρ/εはマヤカシです。（#1さんより）

については、自分の意見は違います。

少なくとも古典電磁気学では、電荷密度（分極電荷含む）の電場を伝えるのは真空だけ、という物質モデルがあるので、divE=ρ/ε（電場）の方が本質的で（必要ならεをテンソル化する）、divD=ρ（電束）の方がマヤカシに見えます。

逆に磁場の場合は、磁束を伝えるのは真空だけ、という物質モデルがあるので、今度は磁場Ｈがマヤカシで、磁束Ｂが本質的に見えます。

FT56F001 · Answer

どちらかというと，Wikipediaの
divD=ρが正しく，
教科書のdivE=ρ/ε0は真空中だけ正しい式で，
誘電体中ではウソです。
誘電率εを考慮して，divE=ρ/εとしても，
誘電率が変化する境界ではウソになります。

微分形より積分形の方がイメージがわくので，積分形で説明します。
まず，数学的には，
divEを体積積分すると，表面から出て行くEの面積分，
divDを体積積分すると，表面から出て行くDの面積分になります。
∫V　DdS=Q

電束密度D[C/m^2]を面積分すれば真電荷Q[C]になります。しかし，
電界E[V/m]を面積分した量[単位はVm]は
何だか分からない物理量になっていることに気がつきます。
電界E[V/m]は長さ[m]をかけて線積分すれば電位差[V]になりますが，
面積[m^2]をかけて面積分する意味が分かりません[何割か私見です]。

多くの電磁気の教科書は
「真空中」を前提にした章に，さほど前提条件を注意しないまま，
divE=ρ/ε0と書いています。
これは，あくまでも真空中のみ正しい式です。

いきなり電界Eと電束密度Dを持ち出すと初心者が混乱する，
真空中ならD=ε0*Eと定数倍に換算するだけだ，
まずは真空中のみで成り立つ式でいいから勉強してね，
という教育的配慮はあるかもしれません。

ただし，誘電体も含んだ世界では，divD=ρの方が本質的で，
divE=ρ/εはマヤカシです。

Wikipwdiaのマクスウエルの方程式

英語版のほうのwikipediaにはもう少し詳しく書いてあります

この回答への補足

#7です。

#6です。

#2です。

普通に使われている分極や磁化がでてくる電磁気学はマクロな電磁気学と言われているもので、微分形で微小な領域を扱っているといいながらもある程度の大きさの範囲の平均的な振る舞いを見ています。

この回答への補足

前者と後者でρの意味を変えるならどちらも等価です。

この回答への補足

＞div E = ρ/ε0

この回答への補足

どちらかというと，Wikipediaの

この回答への補足

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