線形代数　直交行列　回転行列

Question

直交行列と回転行列について質問させて頂きます。

直交行列の定義は、
行列Aの転置行列がAの逆行列に等しい行列。
つまり、t^A=A^-1。よって、t^AA=At^A=Eが成り立つ。
このとき、行列Aは直交行列である。
また、直交行列の行列式は1である。

また、以前直交行列における「直交」の意味を質問
させて頂きました。
ご回答頂いた内容は、
＞直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
＞直交し、大きさが全て 1 になります。
＞直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
＞直交し、大きさが全て 1 になります。
です。ご回答頂いた内容は理解できています。

回転行列の定義
Wikipediaによれば、
回転行列は、常に実数を成分とする正方行列である。
代数学的には、n-次元空間での回転行列はn × nの直交行列であり、
その行列式は1である。

回転行列は常に実数を成分とするとあるのですが、
これはなぜなのでしょうか？

直交行列におけるベクトルの基礎体はCだが、
回転行列におけるベクトルの基礎体はRに限定
されるのでしょうか？

列成分で表される複素数を含む3×3直交行列があったとします。
第一列の成分が、
（a）
（b+ic）
（d）
で表される場合の第一列の大きさ（ノルム）は、
（a）
（b+ic）
（d）
と
（a）
（b-ic）
（d）
の内積の平方根と言う認識でOKでしょうか？

直交行列であるが回転行列ではない場合というのはあるのでしょうか？
回転行列だが直交行列でない場合というのは存在しないと思います。

以上、質問文が読みづらいかと思いますがご回答よろしくお願い致します。

ddtddtddt · Accepted Answer

#10です。

＞一点だけ気になったのですが、等長変換と直交変換は
＞同じではないですよね？

厳密には同じではないです。等長変換はアフィン変換の一種です（よって直交変換は特殊なアフィン変換です）。とは言えその前に、用語を確認させて下さい。自分は好き勝手に数学をやる方なので、この前のように皆さんと、用語がずれてる場合があります。アフィン変換とは、ある行列Ａとベクトルξで、

y＝Ａx＋ξ　　　(1)

と書けるもの（x，yもベクトル）。これで良いでしょうか？。以下は、(1)で良いとした時の話です。

等長変換は、内積を不変に保つアフィン変換だと言えます。前回は等長変換Ｔ対して、Ｔ(0)＝0（0は零ベクトル）、すなわち|x|＝|Ｔ(x)|を無条件で認めましたが今回はそうしないので、等長変換をfで表します。等長変換の定義は前回と同じです。

|x－y|^2＝|x|^2＋|y|^2－2(x，y)　　　　　　　　　　　(2)

|ｆ(x)－ｆ(y)|^2＝|ｆ(x)|^2＋|ｆ(y)|^2－2(ｆ(x)，ｆ(y))　　　(3)

|x－y|^2＝|ｆ(x)－ｆ(y)|^2　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

となりますが、(2)，(3)，(4)を特にy＝0で考え、

|x－0|^2＝|x|^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2’)

|ｆ(x)－ｆ(0)|^2＝|ｆ(x)|^2＋|ｆ(0)|^2－2(ｆ(x)，ｆ(0))　　　(3’)

|x－0|^2＝|ｆ(x)－ｆ(0)|^2　　　　　　　　　　　　　　　　(4’)

において、(2’)，(3’)→(4’)と代入すると、f(0)に関する関係式、

|x|^2－|ｆ(x)|^2＝|ｆ(0)|^2－2(f(x)，ｆ(0))　　　　　　　　(5)

が得られます。そこで(2)，(3)→(4)と代入し、(5)を持ちこむと、

(x，y)＝(ｆ(x)－ｆ(0)，ｆ(y)－ｆ(0))　　　　　　　　　　　　(6)

を簡単に導けます。よって(6)からｆ(0)＝ξとして変換Ｔを、Ｔ(x)＝ｆ(x)－ξと定義すれば、やはり(6)から、Ｔは内積を不変に保ち、しかもＴ(0)＝0かつ|x|＝|Ｔ(x)|を成り立たせる変換なのは、明らかです。Ｔが直交変換であるとはまだ言えませんが、Ｔに対しては、同じく(6)から、

(x，y)＝(Ｔ(x)，Ｔ(y))　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)

なので、ここから#10の話を始める訳です。そうしてＴが直交変換である事を導けば、Ｔ(x)＝ｆ(x)－ξなので、

ｆ(x)＝Ｔx＋ξ，Ｔは直交行列，ξはｆに関する定数ベクトル．

となり、ｆは、内積を不変に保つアフィン変換という事になります。

※　簡単な事なのにこういうのって、あんまり本には書かれていないんですよね・・・。「抽象的な話はいいからさぁ～」と昔はずいぶん愚痴りました・・・(^^；)。でも、じゅうぶん抽象的か・・・(^^；)。

ddtddtddt · Answer

すいません#10です。添付図を付け忘れました・・・。

ddtddtddt · Answer

#6です。補足も貰っていませんので、以下は大きなお世話です。

まずミンコフスキー空間の話は、全部蛇足です。全部忘れて下さい。#6で言いたかったのは、直交変換の本質は、それが等長変換である事だ、です。

等長変換Ｔを、次のように定義します。

・等長変換とは、2点間の距離を変えない変換である．　　　(1)

と定義します。とりあえず2次元平面で考え、Ｔは2次元平面に作用する等長変換だとします。そして2次元平面に三角形ＡＢＣを考えます。頂点Ａ，Ｂ，ＣのＴによる変換結果を、Ｔ(Ａ)，Ｔ(Ｂ)，Ｔ(Ｃ)と表します。うるさい事を言わなければ、三角形Ｔ(Ａ)Ｔ(Ｂ)Ｔ(Ｃ)は、三角形ＡＢＣのＴによる変換結果です。

(1)を漠然と読むと、三角形ＡＢＣに対して三角形Ｔ(Ａ)Ｔ(Ｂ)Ｔ(Ｃ)は、もとの形より潰れたり伸びてたりしても良い気がします。でも、そうじゃないんですよ。Ｔは2点間の距離を変えません。という事は、辺ＡＢの長さ＝辺Ｔ(Ａ)Ｔ(Ｂ)の長さ　が成り立ち、ＢＣ＝Ｔ(Ｂ)Ｔ(Ｃ)も、ＣＡ＝Ｔ(Ｃ)Ｔ(Ａ)も成り立ちます。よって「3辺等長の三角形の合同条件」より、三角形ＡＢＣと三角形Ｔ(Ａ)Ｔ(Ｂ)Ｔ(Ｃ)は、「同じ形」です。

こんな事が成り立つなんて、平行移動による自明な変換を除けば、回転くらいしかないじゃないですか？。ただし三角形Ｔ(Ａ)Ｔ(Ｂ)Ｔ(Ｃ)は、三角形ＡＢＣに対して裏返っても良いはずです。これが鏡映です。また2次元平面はふつう、(x，y)座標で表しますが、xとかyなんて人間が勝手に付けた名称です。(y，x)だって2次元平面は、一向に困りません。これが置換です。

故に等長変換は、回転と鏡映と置換の合成変換であろうという予想が、既にこの時点で成り立ちます。線形代数を行うという立場で言うと、後は以上の予想を、ベクトルと関連付けるだけです。なので(1)を、ベクトルの言葉で最初に言い換えます。

点xの位置ベクトルを、やはりxで表す事にすれば、点xとyの距離の2乗、すなわちベクトル(x－y)のノルム2乗は、

|x－y|^2＝|x|^2＋|y|^2－2(x，y)　　　(2)

で計算できます。(x，y)は、ベクトルxとyの内積です。(Ｔ(x)－Ｔ(y))についても同様に、

|Ｔ(x)－Ｔ(y)|^2＝|Ｔ(x)|^2＋|Ｔ(y)|^2－2(Ｔ(x)，Ｔ(y))　　　(3)

です。Ｔは等長変換なので(1)より、(2)＝(3)です。結果は明らかに、

(x，y)＝(Ｔ(x)，Ｔ(y))　　　　(4)

です。(4)の意味するところは、「等長変換は、内積を不変に保つ」です。逆に(4)が成り立つならノルム不変なので、Ｔは等長です。よって、

Ｔが等長変換　⇔　Ｔは内積を保つ．　　　(5)

となり、等長の特徴付けが、ベクトルの用語で言いかえられました。以後は、「内積を保つ変換」のみを考えれば良い事になります。

ここから非常に線形代数らしくなります。Ｔは、空間の中のあるベクトルｖに作用しますが、この時に、空間の座標軸に平行な単位ベクトル{ex，ey}へのＴの作用も、同時にセットで考慮します。何故かと言うと、それが添付図です。{ex，ey}の事を基底と言います。

添付図の赤が、Ｔによる変換結果です。添付図はもちろん、回転を想定して書いてありますが、高校時代に回転行列を導く際に、このような図を使ったのは、ご記憶と思います。図では変換対象ｖとセットで、基底（座標軸）の変換も同時に考えています。

要するに、座標系ごと回せば良いよね？、という話です。何故これが「良い」かというと、変換前のベクトルｖの座標軸への射影は(x，y)でしたが、変換後も、変換された座標軸へのＴ(ｖ)の射影は(x，y)です。この性質の「良さ」のために、添付図から2次元の回転行列の具体的形は、けっこうあっさり出て来たはずです。

ところで「変換前のベクトルｖの座標軸への射影(x，y)」とは、内積、

x＝(v，ex)，y＝(v，ey)　　　　　　　　　　(6)

の結果です。ところが(5)より、

x＝(Ｔ(v)，Ｔ(ex))，y＝(Ｔ(v)，Ｔ(ey))　　　(7)

でもあります。(7)は、変換後の座標軸へのＴ(ｖ)の射影は、やっぱり(x，y)である事を意味します。

よって、等長変換という条件だけから、添付図のような状況が導けた事になります。後は以上の条件を使って、任意次元に対して添付図に続く計算と本質的に同等な作業を行い、等長変換Ｔの具体的形を定めるだけです。

結果は、等長変換Ｔは、線形変換であり、ある行列Ｔ＝(Ｔij)によって表現され、行列Ｔは、

Ｔ・Ｔ^t＝Ｅ　　　(8)

で特徴付けられる事を、すぐに導けます（実際にやってみて下さい）。逆に線形変換Ｔが(8)を満たすなら、ノルムを保存する変換である事も、これまた一瞬で導けます。最後に、数種類の具体的な(8)を満たすＴを考えると、直交変換一般が、回転と鏡映と置換の合成である事も、すぐに納得できます。

以上の議論で、内積(x，y)を歪内積<x，y>に取り換えれば、他は一字一句違う事なく、ユニタリー行列の話に出来ます。だから私は、ユニタリー行列も複素ベクトル空間上の回転と感じます。その具体的根拠は、最初に述べた見通しであり、やろうと思えば示せるはずです。要するに、個々の直交（ユニタリ）変換に対して、個々の変換に対して決まる、回転軸の存在を示せば良い訳です。それは外積代数を応用すれば、けっこうすぐだと思われます。

tknakamuri · Answer

>たしか置換は鏡映に含まれていたと思います。間違っていたらすいません。

間違ってました。置換は回転か鏡映になります。

ちなみに置換とはベクトルの項を並べ替えることで

1 2 3
2 3 1

という置換(順番 1 2 3 を 2 3 1 に並べ替えるという意味)
は行列で表すと

0 1 0
0 0 1
1 0 0

という直交行列になります。

itukadarekato · Answer

私以外に2名の方が回答されています
誰が何をいったのかが混乱しているのではないですか(笑)

せっかくのご質問ですから一応回答します

>鏡映に関してですが、
>・・・
>前回の例でx軸に対する鏡映と仰られましたが
>x軸のベクトルだけ鏡に映ったように反転するから
>x軸に対する鏡映と呼ぶのでしょうか？

私ではありません
私はy軸にについて折り返すと表現しました
強いていうならy軸についての鏡映です

鏡映と表現される変換は2次元に限定すれば
原点を通る直線について対称な点に移す変換です

>また同様に置換ですが、
>・・・

これも私ではありません

私はこのような概念を別に立てる意味がよくわかりません
必要ないと思います

>この置換は直交変換に含まれますが、同時に等長変換
にも含まれると思います。

2次元平面上の実行列が表す変換について
直交変換と等長変換は同じかと思いますが

>置換という操作は、線形変換やアフィン変換にも含まれるのでしょうか？

2次元平面上の変換について
行列の表す変換は線形変換です
また、線形変換はすべて行列で書けます

標準基底を考えれば実質として同じものと思ってもさほど害はありません
基底の取り方によって行列の表現(混乱するかな)は変化します

>アフィン変換にも含まれるのでしょうか？

このように話を広げていくと、また新たに疑問が出て
収拾がつかなくなると思います
まず、ここまでを整理し周辺の必要なことを学習した上で
新たな質問を立てていただいた方が良いと思います

itukadarekato · Answer

>ここまでで、疑問内容は解決しましたが
>間違いはありますでしょうか？

ほぼ良いと思います

>直交行列のなかで回転行列は、det（A）=1が成り立つ。

正しい内容ですが
これが回転行列の定義だということは確認してください

>(1,0)→(0,1), (0,1)→(-1,0)は180度回転ではないでしょうか？

90度の回転です

ベクトル(1,0)は図で書くと(しっぽが原点にあることは断りません)
x軸の右方向を向いた長さ1の矢印です
これを原点を中心に90度回転するとy軸上方を向いた長さ1の矢印になります
成分表示は(0,1)です
つまり、90度の回転で　(1,0)→(0,1)　となります
同様に矢印で考えてください (0,1)→(-1,0)　となります

急がずに自分でゆっくり考えることを勧めます(笑)

ddtddtddt · Answer

#1です。

＞複素数を成分に含む直交行列をユニタリ行列というのですね。
＞itukadarekatoさんの仰るように直交行列もやはり実行列の概念
＞なのでしょうか？

すいません。誤解を招いたと思います。直交行列という用語の使い方に関しては、皆さんの仰るようにするのが無難です。「複素数を成分に含む直交行列」ですが、これはたんに私が、ユニタリー行列の事をそう言いたがるという話に過ぎません。だってユニタリー行列の行や列も、（歪内積の意味で）直交するじゃないかよぉ～、・・・という単純な発想です(^^；)。

ふつうユニタリー行列とセットにして考える歪内積のために、ユニタリー行列Ｕでは、#2さんの仰るように、

Ｕ・Ｕ＾*＝Ｅ

です。「^*」は、複素共役転置を表します。

以下はまた、余計な話かも知れませんが、そうであっても自分のイメージでは、ユニタリー変換もまた回転なんです。どうしてかと言うと、ユニタリー変換も複素ベクトル空間上の等長変換だからです。

＞等長変換において、並行移動を含まない変換を
＞直交変換と言ったと認識しています。

をわかっておられるなら、（本当の）直交変換　⇒　実ベクトル空間上の等長変換　は自明だと思いますが、逆をやってみた事はあるでしょうか？。等長変換　⇒　直交変換（実行列）　です。

等長変換に線形変換という限定を付けなくても、等長変換　⇒　（線形である）直交変換　という結果が導けます。等長変換の変換挙動を想像し、直交変換が回転である事を知っていれば、上記は等長変換の意味からあるいは明らかかも知れませんが、最初はやっぱりちょっと驚きました（話が出来過ぎてるぞ～・・・と(^^)）。このような事情から私には、ユニタリー変換も複素ベクトル空間上の回転に「感じられます」。

＞ミンコフスキー空間についてですが、
＞これはミンコフスキー時空と言われるものですか？
＞私の認識では相対性理論を定式化する上で用いられた
＞3次元ユークリッド空間に時間の概念をあわせたものと認識しています。

これも蛇足だったかも知れません。ご想像の通りのミンコフスキー時空です。そこでは光速度不変の原理があるため、

s^2＝x^2＋y^2＋z^2－c^2・t^2　　(1)

の形のノルム2乗が重要になり、sは世界距離と言われます。ミンコフスキー空間では(1)を、

(x，y，z，ict)　　　(2)

の形の複素ベクトルの（歪内積でない）内積の結果と考えます。ｉ　は虚数単位です。(2)の全体は、明らかに「成分」4つの複素ベクトル空間の部分空間ですよね？。

内積付きのベクトル空間（計量空間）の基本的目的は、次のようになります。

・内積が、その空間の幾何学を規定する．

簡単のため、

(x，ict)　　　(3)

で考えます。(3)に対して　例えば(1)のようなノルムを認めると（古くは付値とも言われました）、原点からの等距離集合は、原点を中心にした双曲線になります（円じゃない！）。

x^2－c^2・t^2＝0　　(4)

と考えると、原点を通る2本の直線になり、これが光円錐と言われるものです（原点に一致しない！）。

このような妙な距離を持つ空間に対して、平行線の公理などは成立するのか？と問う事は、数学的には意味があります。興味があれば、エルランゲン・プログラムなどで検索してみて下さい（警告：　興味があればです！・・・(^^；)）。

内積には重線形性があるので、内積の挙動はじつは、空間を張る基底{eｉ}に対する値で決まります。{eｉ}を標準基底とすれば、ふつうのユークリッソ空間なら、ｉ≠ｊについてはeｉ・eｊ＝0，ｉ＝ｊではeｉ・eｉ＝1ですが、ミンコフスキー空間では時間を表す4番目の次元で、

e4・e4＝－1　　　(5)

になります。(5)が(4)のような事も起こす根本原因であり、それが「内積が、その空間の幾何学を規定する」の意味です。しかしユークリッド空間とミンコフスキー空間の幾何学の違いは、(5)だけです。それで擬似ユークリッド空間とも言われる訳です。

＞擬似ユークリッド空間とはアフィン空間のことでしょうか？

アフィン空間とは、原点移動も考慮した線形変換の結果で得られるものと、自分は理解しています。なので、ミンコフスキー空間に原点移動も考慮すれば、擬似アフィン空間と言うべきだと思います。

最後に、また余計な話かもですが、detＡ＝－1となる直交変換は一般に、回転と鏡映（座標反転）の合成変換に分解できます。しかし座標反転しないのが自然です。なんでわざわざ反転するの？、という話です。「どうしても」という理由がなければ、ふつうは反転させません。なので直交変換を、detＡ＝1に限ると思っていても、実用上は余り問題はありません（数学的定義は違いますよ）。

同様に置換は、座標軸の入れ換えです。だったら「元に戻して考えましょうよ」となって、実際上は、xとyを互いに入れ換えて考えればOKよね？、・・・となります(^^)。

itukadarekato · Answer

>

-1,0
　0,1
>についてなのですが、これは鏡映と呼ばれる
>変換でしょうか？

図形的にはその通りです
昔は反転と呼ぶこともありました

>鏡映は90度回転と同じに思うのですが、

同じではありません

90度の回転は標準基底を
(1,0)→(0,1), (0,1)→(-1,0)
と変換しますから変換行列は
0,-1
1, 0
になります

あなたが以前書いたように
直交行列の中でdet(A)=1となる行列を
回転行列と呼ぶのですから
det(A)=-1となる行列Aが回転の行列のはずはありません

>回転と鏡映の違いはなんでしょうか？
>回転行列ですが、3行3列以外でも定義されるのでしょうか？

直交行列の中で
det(A)=1となる行列が回転行列
det(A)=-1となるのが・・・
という理解が基本だと思います

もちろん定義できます

2次元、3次元では図形のイメージと結びつける
ことも可能ですが、4次元以上では所詮アナロジーです
図形のイメージを引きずりすぎない方が良いと思います

混乱するといけないのでさっと触れますが
無限小変換というものを考えると回転と鏡映はだいぶ違います
今は深入りせずに基本的なことを十分に学習して、
まだ興味があれば調べてください

tknakamuri · Answer

No.2でほぼ言い尽くされているので補足。

直交行列は実行列で、ユニタリ行列の実数版。

直交変換は内積を変化させない、つまりベクトルの長さや
ベクトル間の角度(というより cosθ)を変化させない変換です。

たしか、直行変換は回転と置換と鏡映しかなかったお思いますが
たしか置換は鏡映に含まれていたと思います。間違っていたらすいません。

鏡映の簡単な例は x軸に対する鏡映　で

-1 0
0  1

置換の簡単な例は

0 1
1 0

これらが直交行列で 行列式が -1 であることは明瞭ですよね。

itukadarekato · Answer

>>直交行列という語も実行列の概念です。
>そのように定義されているのでしょうか？
>そう考えるとすごくすっきりします。

私は実行列ではない直交行列の定義を
みたことがありません

ユニタリ行列に直交行列の性質がどの程度
遺伝するかはまた別の問題です

>(1,0)→(-1,0),(0,1)→(0,1)についてよくわかりません・・・
(-1,0),(0,1)はベクトルですか？
t^AA=At^A=Eは満たすのでしょうか？

ベクトル(1,0)と(0,1)は平面(2次元ユークリッド空間)の
標準基底です(行列の議論では列ベクトルとすることが多い)

2次元の行列は標準基底がどのようなベクトルに
移るかで完全に決まってしまいます

>(1,0)→(-1,0),(0,1)→(0,1)　と変換する行列は

-1,0
　0,1

となります
(-1,0と(0,1)を縦に書いて横に2つ並べた行列です
これを A とします

t^A=A

は自明だと思います

>直交行列の行列式は1であると言う事に関して、
>t^AA=At^A=E
>の行列式をとると、
>det（t^AA）=det（At^A）=det（E）=1
>となります。
>どこが間違いなのでしょうか？

提示した行列 A について

t^AA=At^A=E
det(A)=-1

が簡単に自分で確認できるはずです
新たなご質問では論旨が少しずれています

私は

det（t^AA）=det（At^A）=det（E）=1

を否定していません

det(A)=1

を否定しました

以前の質問で、あなたは次の様に記述していました

>直交行列の行列式は1である。

今回も冒頭で

>直交行列の行列式は1であると言う事に関して、

と記述しています

線形代数 直交行列 回転行列

#10です。

すいません#10です。

#6です。

この回答への補足

>たしか置換は鏡映に含まれていたと思います。

私以外に2名の方が回答されています

>ここまでで、疑問内容は解決しましたが

この回答への補足

#1です。

>

この回答への補足

No.2でほぼ言い尽くされているので補足。

この回答への補足

>>直交行列という語も実行列の概念です。

この回答への補足

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