点と直線の距離d

お世話になっております。
数学IIの図形と方程式から、実際には円と直線の共有点の個数を定める基本的な問題についてですが、これまた基本的な点と直線の距離dを導く過程でてこずってしまい、恥ずかしながら質問致します。
問題「円x^2+y^2=1とy=x+kが異なる二点で交わるときの、定数kの値の範囲を定めろ」というのを、原点から直線までの距離dと円の半径rとの関係から導く方法でもとめようと思います。

公式を使えば、d=|k|/√(2)と出来ますが、公式の定着が良く無く、一から式を立てようとやってみましたら……

y=x+k…(1)　として、まず原点Oから直線(1)に垂線を下ろし、その足をH(x0,y0)とする。二直線については、(1)⊥直線OH であるから、OHの方程式の傾きmは、m・1=-1より、m=-1。また、OHは原点Oを通るから結局OHの方程式は y=-x…(2)になる。
さらに垂線の足Hは、二直線(1)(2)の交点であるから、(1)と(2)の連立方程式の解としてHの座標が得られる。これを解くとx0=-(k/2)、y0=k/2。
これらから、dは線分OHの長さとして、d={√(2k^2)}/2。一方円の半径rは1だから、
{√(2k^2)}/2＜1。有理化して整理すれば、|k|＜√(2)より場合分けして、-√(2)＜k＜√(2) となる。

一から式を立てると面倒ですが、公式の丸暗記が当てにならない当方としては、時々こうやって一から考え直すと頭がスッキリするのですが、公式を使う場合より、計算が煩雑で解き方より計算に脳みそが偏ってしまいます。なので、ここまでの解の筋道についておかしな点がありましたら、御指摘下さると嬉しいです。宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/08/03 22:05

d = |k|/√2 の求めかたは、それでバッチリです。

そのやり方で「点と直線の距離公式」を導くこともできるし。

d = √((x0)^2+(y0)^2) = √(2(k^2)/4) = |k|/√2 を計算して、
d < 1 を k の範囲に翻訳すればいいですよね。

距離公式を導くには、垂線の方程式を求めるより、
直線上の点の位置ベクトルと直線の単位法線ベクトルの内積
を考えた方が計算が楽かと思いますが、好みの問題ですからね。

この一問を解くだけなら、y=x+k を x^2+y^2=1 へ代入して
実根がふたつになる条件を考えるだけでもいいです。

この回答への補足

ベクトルを利用する件についてトライしてみようと思います。いつも良いヒントを下さり助かります。

補足日時：2012/08/03 23:10

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。ご回答の最後の一文「この一問をとくだけなら～」については、特に同感です。面倒ったらありゃしないですよね。この距離dと半径rの関係から求める方法のメリットって何かあるのでしょうか…

お礼日時：2012/08/03 22:51

No.2 回答者： suko22 回答日時： 2012/08/03 22:37

あなたのやり方であってますよ。

でも私はあまりよく思いません。

計算大変でしょ。あなたも書いていますが、計算で一杯一杯になり、
他のことが頭に入ってこなくなります。

特に応用題を解くときはこんなことしていては計算で労力をとられ、
頭がくたくたになり、わけがわからなくなるのでは？と思います。

公式はその労力を減らすために、ある便利な道具なんです。
積極活用する力も大切です。

あなたのように「一からしっかり公式の意味を確認する」という意味では、
とても大切なことをやっていると思います。

しかし、「数学の問題を解く」という意味ではセンスがなさすぎると個人的には思います。
公式や定理を使いこなして、応用題をいかにして解くかが数学では試されていると思うからです。

よく、数学では公式を使う前に証明したりしますけど、
わかる人にはそれでいいと思いますが、これが数学嫌いを産む元凶です。

数学の教科書はそういう意味ではほんとによくないと思います。
（数学専門の人が作るからそうなっちゃうんです）

公式などは証明がもし最初理解できなかったら、まず具体的な問題で使ってみるべきだと
思うのです。

例えば、三角比の正弦定理や余弦定理などは証明はほっといてさっさと使い方覚えたほうが
問題さくさく解けますよね。

電化製品使うとき、説明書読むよりまずいじってみるみたいなもんです。

ほとんどの人にとって数学を学ぶ意味は、数学的な思考力をつけるためです。
数学的思考力とは、難しい問題を一つ一つ丁寧に紐解いて、その分解したものを
自分の知っている知識に結びつけ、そして順序だてて解いていくことができる能力のことです。
（つたわりましたかね。上手く表現できなくてすみません。）

だから、有用な公式は道具として使えるようにしておくのが最善です。
そうすると複雑な問題を考えるときでも、余計な計算に労力をとられたり、問題を複雑化することなく
単純化してみることができるようになります。

これからは公式の使い方を勉強されるとよいと個人的には思います。

この回答への補足

ご回答の半ばあたりの「つたわりましたかね～」はよく伝わりました。問題集こなして対応力を養いたいと思います。

補足日時：2012/08/03 23:06

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。おっしゃる通り、煩雑ですよね。この法則の使いどころに悩みます。 ただ、数学には公式が山のようにあるので、暗記すべきものと証明を覚えるものとを分けて対応していきたいなぁ、と考えております。特に無機的な数学公式は、証明で有機的にしないと暗記するのがかえって大変でして… また、これは人によるとは思いますが、具体的な値で公式の使い方を覚えるのは、単元にもよるのかなぁと考えております。特に、個数の処理や数列は、証明が理解し辛いのが多いように私的に思いますので、うまく使い分けが出来たらなぁと考えております。いずれにしても、脳みその持久力との勝負ですよね。

お礼日時：2012/08/03 23:00