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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)
>1.√2が無理数であることの証明。
「n^2が2の倍数(偶数) ならば、nは2の倍数」……(A)
を証明します。
対偶;nは奇数 ならば、n^2は奇数 を示します。
nは奇数だから、n=2k+1(kは整数)と表せる。
n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1
=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数
よって、対偶が真だから、元の命題(A)も成り立つ。
√2=m/n(n≠0,mとnは互いに素な整数)とすると、
√2n=m 両辺を2乗して
2n^2=m^2 ……(*)
m^2は2の倍数なので、(A)より、mは2の倍数
だから、m=2k(kは整数)とおける
m^2=4k^2より、(*)に代入して
2n^2=4k^2より、n^2=2k^2
n^2は2の倍数なので、(A)より、nは2の倍数
よって、m,nとも2の倍数となり、互いに素であることに矛盾する。
よって、√2は無理数
>2.実数aがa^2+a+1=0をみたすとき、
>aが無理数であることの証明。
問題を確認して下さい。(aは無理数ではないです。)
>(2)
>1.nが自然数とするとき、n^3が3の倍数ならば、
>nは3の倍数になることの証明。
対偶により証明します。
対偶:nは3の倍数でない ならば、n^2は3の倍数でない
n^2は、3の倍数でないから、3で割った余りが1か2になるということだから、
n=3m+1 または n=3m+2(mは整数)とおける。
n=3m+1のとき、
n^3=(3m+1)^3=27m^3+3・9m^2+3・3m+1
=3(9m^3+9m^2+m)+1より、3の倍数でない。
n=3m+2のとき、
n^3=(3m+2)^3=27m^3+3・18m^2+3・12m+8
=3(9m^2+18m^2+12m+2)+2より、、3の倍数でない。
よって、対偶が真だから、元の命題
n^3が3の倍数ならば、nは3の倍数になる はなりたつ。
>2.3の3乗根が無理数であることの証明。
3√3=m/n(n≠0,mとnは互いに素な整数)とすると、
両辺を3乗して、(m/n)^3=3で3の倍数だから、
(2)1より、m/nも3の倍数
だから、m/n=3k(kは整数)と表せる。
m=3knより、mは3の倍数 このとき、
m/nが3の倍数(整数)であるためには、nは
n=1か、mの3の倍数でない約数か、mと一致しない3の倍数である約数
でなければならないから、
m,nが互いに素であることに矛盾する。
よって、3の3乗根は無理数である。
でどうでしょうか?
この回答へのお礼
お礼日時:2012/09/23 19:48
a^2+a+1=0→a^3+a+1=0
でした。
(2)の2の解答が、すごくわかりやすかったです!
ありがとうございました^^*
No.4
- 回答日時:
(1)2. 実数aがa^2+a+1=0をみたすとき、aが無理数であることの証明。
aが有理数であると仮定して,a=m/nただしmとnは互いに素な整数とする。
このとき
(m/n)^2+(m/n)+1=0
(m/n+1/2)^2=-3/4
となって実数の2乗が負数になる。これは成立しないので,仮定は誤りであり,aは無理数である。
ようするに,命題の前提が偽(実数aはa^2+a+1=0を満たさない)であれば結論はなんでもありということだ。
No.1
- 回答日時:
(1)2.
a^2+a+1=0 を解くと、
a={-1±√(1-4)}/2
=(-1±√3i)/2
となり、実数解を持ちません。
実数aがa^2+a+1=0を満たすことはないので、証明不可能だと思います。
(2)1.
背理法の問題かどうか、よくわかりません。
nが3の倍数でないとする。このとき、1以上の整数mを用いて、
n=3m-1 …… (a)
または
n=3m-2 …… (b)
の形で書ける。
(a)の場合、
n^3=(3m-1)^3=27m^3-27m^2+9m-1=3(9m^3-9m^2+3m)-1
となり、n^3は3の倍数ではない。
(b)の場合、
n^3=(3m-2)^3=27m^3-54m^2+36m-8=3(9m^3-18m^2+12m-2)-2
となり、n^3は3の倍数ではない。
これらの結果から、命題「nが3の倍数でないならば、n^3は3の倍数ではない」は真であることがわかる。
よって、この命題の対偶である「n^3が3の倍数ならば、nは3の倍数である」も真である。
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