全てのことは数式で表すことが出来ますか？

人の心から宇宙の誕生まで、全てのことは数式で表すことが出来るのでしょうか？

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2012/10/08 01:53

　人の心や宇宙の誕生どころか、数学に出て来るありふれた概念ですら、数式で書けないものが幾らでもあるんです。

　数式は文字・記号を並べた列です。そこで、数式に使うあらゆる文字・記号を並べた一覧表を用意し、そして、それらの文字・記号に0から順に番号を付けます。さて、数式fをひとつ持ってきたとき、その文字数をN(f)、また数式fのk文字目の記号の番号をs(f,k)とします。また、k番目の素数をp(k)とします。そして、
　G(f) = (p(1)^s(f,1))×(p(2)^s(f,2))×…×(p(N(f))^s(f,N(f)))　　( x^y　は 「xのy乗」という意味です。）
という数を考えると、これはひとつの自然数です。また逆に、自然数G(f)が分かっていれば、それを因数分解する事で1文字目の記号の番号s(f,1), 2文字目の記号の番号s(f,2), …, N(f)文字目の記号の番号s(f,N(f))がそれぞれ一通りに決まるから、これでfが分かります。
　つまり、このやり方で、どんな数式もひとつの自然数と対応付けることができる。（ちなみに、G(f)を数式fの「ゲーデル数」と言います。）
　ですから、数式の個数は自然数の個数よりも少ないんです。

　一方、たとえば実数は自然数の個数よりも多く存在します。0から1の間の実数に限ってすら、自然数の個数よりも多いんです。（これは「対角線論法」を使って証明されます。）

　ということは、つまり、どんな数式でも表せないような実数がいくらでも存在する訳です。

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　ところで、数学は科学ではない。（人の心や宇宙の話を含め）科学の対象は現実の世界に属する物・事ですが、数学は現実とは直接の関係がないんです。この話については、こちらもご参考に→ http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3637967.html

No.4 回答者： ta20000005 回答日時： 2012/10/05 18:07

人の心の中には数学的対象もあり、数学的対象は非可算です。

人間が区別認識できるように記号で表すことのできる対象は高々可算ですから、表すことのできないものの方が圧倒的に多いと言えます。

No.3 回答者： chie65535 回答日時： 2012/10/05 16:47

「数式で表す」とは「何かの事象を数式として定義する」と言う事です。

すべての事象には「原因と結果」がありますから「○○において、原因ｘを与えると、結果ｙが得られる事象を、数式ｙ＝★(ｘ）と定義する」とすれば、○○の部分には「人の心から宇宙の誕生まで、全てのこと」を当て嵌める事が出来ます。

関数「★(）」の中身がどうなっていようとも「定義は可能」なのですから、質問の答えは「出来る」になります。

但し「関数★(）の中身もちゃんと定義しないと、定義したとは認めない」って場合は、関数★(）の中身を常に定義できるとは限らないので、質問の答えは「出来ない」になります。

No.2 回答者： noname#163178 回答日時： 2012/10/05 15:41

「この文を数式で表すことはできない。

」

を数式で表すことができるとすると、矛盾。
したがって、全てのことを数式で表すことが出来るとは限らない。

No.1 回答者： FEX2053 回答日時： 2012/10/05 14:14

数学というのは際限ない抽象化・一般化の学問です。

例えば

１＋１＝２

という数式がありますが、数学では通常、こんな数式の
ままでは扱いません。使ってる数字を一般化して例えば

X＋Y＝Z

更には

Ｆ（X，Y）＝Ｚ　∀（Ｘ，Ｙ，Ｚ）は自然数

として扱いますし、Ｘ，Ｙ，Ｚを実数、更には虚数、更には
ｎ次元空間の範囲まで広げて扱います。

ここまで抽象化・一般化すると、Ｆ（Ｘ，Ｙ）＝Ｚの意味は、

「２つの条件のもと、何かが起きると一つの結果が得られる」

ということまで広がってしまいます。すなわち例えば「結婚」も
言えば「ＸとＹがくっついてＺという戸籍として登録する」こと
ですから、Ｆ（Ｘ，Ｙ）＝Ｚで表される・・・とも言えるわけで。

さて果たして、ここまで抽象化・一般化することが正しい理解
に繋がるか・・・というとかなり疑問です。

ですので「全てのことは数式で表すことができる」と思えば
出来る」が答え、「表すことが出来ない」と思えば「出来ない」
が答え・・・というのが正しいと考えられます。