軌跡の問題を教えて下さい。

「点(0, -2)との距離と, 直線y=2との距離が等しい点の軌跡を求めよ。」

答えは「放物線y=(-1/8)x^2」になるなのですが、
解き方が分かりません。

どなたか分かる方、どうかご教授願います。

又、ヒントに「√(x^2)+(y+2)^2 = |2-y| として両辺を2乗」とあります。
(根号は左辺全体にかかっています。)

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/10/28 06:24

>「√(x^2)+(y+2)^2 = |2-y|」が導かれるまでの過程もどうかご教授願います。

点(0, -2)との距離と, 直線y=2との距離が等しい点の座標を(x,y)とすれば

点(0, -2)と点(x,y)との距離d1は、３平方の公式から
　d1＝√{(x^2)+(y+2)^2}
直線y=2と点(x,y)との距離d2は、点(x,y)が直線y=2の上側、直線上、直線より下側に存在する
可能性があるから、y座標の差(2-y)の絶対値|y-2|をとる必要があるので
　d2=|2-y|

題意より距離d1とg2が等しいことから
　√{(x^2)+(y+2)^2}＝|2-y|　...(★)

これがヒントの式です。

なお、右辺の|2-y|は|y-2|でも構いません。
あとは、ヒントのとおり
（★）の両辺を2乗して
　(x^2)+(y+2)^2＝(2-y)^2
括弧を展開して
　x^2+y^2+4y+4＝y^2-4y+4
yの項を左辺に、xの項を右辺に移項してやれば
　8y＝-x^2
８で割れば
答えの
　y=(-1/8)x^2
が導ける事は言うまでもないでしょう。

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/11/06 22:25

>「√(x^2)+(y+2)^2 = |2-y|」が導かれるまでの過程もどうかご教授願います。

動点をP(x,y)とします．

左辺=「P(x,y)と(0,-2)の距離」

P(x,y)から直線y=2へおろした垂線の足はH(x,2)です．これとPとの距離PHが点Pと直線y=2との距離です．それはy座標の差の絶対値|2-y|です．したがって

右辺=「P(x,y)とH(x,2)の距離」
※PH=√{(x-x)^2+(2-y)^2}=√(2-y)^2=|2-y|としてもよいです．

No.1 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/27 23:04

√{x^2+(y+2)^2} = |2-y|

平方して

x^2+(y+2)^2 = |2-y|^2=(2-y)^2
x^2+y^2+4y+4=4-4y+y^2
x^2+4y=-4y

よって

y=(-1/8)x^2

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

「√(x^2)+(y+2)^2 = |2-y|」が導かれるまでの過程もどうかご教授願います。

補足日時：2012/10/27 23:48