A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
場合分けと言えば、
lim[z→1]((z-1)のn乗)f(z) が
収束する n と発散する n を場合分けして、
n≧3 で収束することを見い出せば、
((z-1)の3乗)f(z) が z=1 で
正則ではないか?という予測が立ち、
これを z=1 中心にテイラー展開してみたくなる。
実際、それは A No.3 のように可能だということ。
No.4
- 回答日時:
#2です。
A#2の補足の質問について
>場合分けはしなくても良いのですか?こ
場合分けは不要です。
というよりなぜ場合分けが必要とお考えか、理解に苦しみます。
1/(2-z)=1+(z-1)+(z-1)^2+(z-1)^3+(z-1)^4+(z-1)^5+... (z=1の回りのテーラー展開)
(z-1)^3で割って
f(z)=1/(z-1)^3 +1/(z-1)^2 +1/(z-1) +1+(z-1)+(z-1)^2+...
↑これがz=1を中心とするローラン展開になります。
No.3
- 回答日時:
中心を 0 へズラすと、少し見やすい。
z-1 = x と置けば、
f(z) = {x^(-3)}{1/(1-x)} となっているでしょう?
1/(1-x) のベキ級数展開は、
高校で習った等比級数の和を覚えていれば、できるはず。
1/(1-x) = Σ[k=0→∞] x^k です。
f(z) = Σ[k=0→∞] x^(k-3) = Σ[n=-3→∞] (z-1)^n
が f(z) の z=1 中心のベキ級数展開になっている
ことは、解りますか?
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