∞^0 (無限の0乗)

∞ = 1/0 と定義します。

∞ は数じゃないですが、次のような性質は備えています。
∞ = ∞ (≠ 0)
1/∞ = 0

指数関数において ∞^0 = 1 と定義できますか？

つまり、次のような定義を加えるという意味です。
∞^p = { 0 | p < 0, 1 | p = 0, ∞ | p > 0 }
こう定義すれば、a^p a^q = a^(p+q) という指数法則は成立すると思います。

No.16 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/19 18:54

今までに確認できたことを踏まえて、何がfusem23さんにとって成り立ち、実数で成り立つどのような法則がどのような場合に成り立たなくなったか、まとめていただきたく思います。

理解したいと思わせるくらい魅力のある考えならともかく(正直似たようなアイデアの中では出来の悪いものに見えています)、伝えられない数学はfusem23さん以外にとっては数学の舞台にすら上がっていないものでしか無いですので。

この回答へのお礼

-∞ = ∞ と定義する。
1/∞ = 0 と定義する。

任意の実数をaとして、計算結果は次のようになる。
∞ + ∞ = 未定義
∞ - ∞ = 未定義
∞ + a = a + ∞ = ∞
∞ × ∞ = ∞
∞ / ∞ = 未定義
∞ × a = a × ∞ = ∞ (a≠0)
a / ∞ = 0
∞ × 0 = 未定義

加法において交換法則、結合法則は成り立つ。
乗法において交換法則、結合法則は成り立つ。
分配法則は成り立たない。

加法単位元は０ … ∞ + 0 = ∞
乗法単位元は１ … ∞ × 1 = ∞
零元はない … ∞ × 0 = 未定義
加法逆元（反数）はない … ∞ - ∞ = 未定義
乗法逆元（逆数）はない … ∞ × 1/∞ = 未定義
大小比較はできない … ∞ - a = ∞

1/x = 1/y ならば x = y とする。
∞ = ∞ … 1/∞ = 1/∞

思い付くのは、以上の通りです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 20:20

No.15 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/19 17:31

それと、∞0=1は分配法則を仮定するなら否定はされますので。

この回答へのお礼

∞0 が定義されないのと同時に、分配法則も成立しないようですね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 18:19

No.14 回答者： Water_5 回答日時： 2013/02/19 17:30

∞＋∞＝∞です。

なのでやはり無理なのでは？

この回答へのお礼

その計算は、定義されません。

…とすると、やはり分配法則は成立しないようですね。

ところで、その計算は指数関数で使いますか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 18:07

No.13 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/19 17:29

最初に書いていないことを後出しされても。

ここは数学の場です。
ただ、そうするなら負の指数については指数関数の形に書く意味は無いですね。何でそのように書くのでしょう。

この回答へのお礼

> 最初に書いていないことを後出しされても。

足りないことを補うために質問させて貰っています。
回答者の皆様の成果だとお考えください。
準備不足という言い方もできますが…

> 負の指数については指数関数の形に書く意味は無いですね。

(a^p)^q = a^(p*q)
というもう一つの指数法則も考慮した場合、正負の指数で考えておいた方が良いのです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 17:59

No.12 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/19 17:02

∞と0の積が定義できないなら指数法則も成り立っていませんね。

この回答へのお礼

指数法則の定義域になっていないだけです。
a^p a^q = a^(p+q)
で a = ∞ ならば、定義域は以下の通りです。
pq>=0

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 17:14

No.11 回答者： Water_5 回答日時： 2013/02/19 16:22

∞と∞は等しく∞＝∞と言うが

ここからしてあやふや。

何故なら５＝５と同じ論法でそういうことにしているが
∞は実数とは違う特殊な存在なので。

実りのない、単なるお遊びになるでしょうね。

この回答へのお礼

∞ を含む演算は、限られたものだけを定義しています。
よって、∞ を区別する性質がないのです。

同じ結果しか得られないものは、同じものと考えられます。
等式の基本に従ってるつもりですが、何か足りませんか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 16:59

No.10 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/19 16:09

普通なら

∞0=∞(0+0)=∞0+∞0
から
∞0=1にはできないので、∞^0=1とすると指数法則は成り立ちませんね。となると∞が絡むと分配法則は成り立たないとするしかありません。
分配法則が成り立たないとする時にどんな体系が成立するかを示していただいた上で続きは考えたいと思います。

この回答へのお礼

> ∞0=∞(0+0)=∞0+∞0
> から
> ∞0=1にはできないので、∞^0=1とすると指数法則は成り立ちませんね。
> となると∞が絡むと分配法則は成り立たないとするしかありません。

分配法則が成り立たないのではありません。
∞ と 0 の積が定義されていないのです。
∞0=1 は否定も肯定もされません。
よって、∞^0=1 という定義を加えても、指数法則に反したことにはなりません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 16:46

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/19 14:52

極限をとらなくても、代数的に添加する方法はありえるとは思うが…

0 の逆元を添加すると、もう、体にはなりようがないから、
1/0 を添加した系がどんな代数構造になって、その上で
どんな計算が成立するのか　を少し整理してからでないと、
実数や複素数からの類推でやたらな計算を行うのは無意味。

∞^0 なんて応用技は、その遥か先の話だ。
まず、定義。∞ を単発で定義するのではなく、
∞ を含む代数系を定義して、そこでの計算法則を理解する
ことが最初。

この回答へのお礼

＃８において、やっと等号の定義を出しました。

1/x = 1/y ならば x = y とする。

今の所、次のような計算は可能です。（＃６より）
∞ × 1 = ∞
∞ × ∞ = ∞

単位元は 1、逆元は 0 です。
交換法則、結合法則は成立します。
x × y = y × x
x × (y × z) = (x × y) × z

演算の定義は、まずはここまで。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 16:34

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/19 14:41

とりあえず質問者さんに 1つ提案.

「∞」と書くと数学では標準的に極限と解釈するため, 最初の「∞ = 1/0 と定義します」自体が危険をはらんでいます. そこで, 「1/0」を表す別の (できればこれまで数学では使われてこなかった) 記号を導入し, その上で議論しませんか?

『「1/0」』でもいいけど.



と書いておくけど, 一応いわんとするところは分かっているつもりではいる. ただ, 最初に勝手に「∞ = 1/0 と定義」しておきながらそのあとで「指数関数において ∞^0 = 1 と定義できますか？」と質問している所以が分からんのだよ. ちなみに「∞ = ∞」と書くからには「= をどう定義したのか」は必要なんだけどね. あと, 例えば「2∞」などの表記も許してくれないと困る.

この回答へのお礼

> 『「1/0」』でもいいけど.

多分、もう統一出来っこないので、必要に応じてその表記も使うようにします。

> ちなみに「∞ = ∞」と書くからには「= をどう定義したのか」は必要なんだけどね.

1/x = 1/y が成り立つならば、x = y とする。

> あと, 例えば「2∞」などの表記も許してくれないと困る.

普通に使ってください。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 16:03

No.7 回答者： jorky#1 回答日時： 2013/02/19 14:38

あと、極限をとらない∞の定義になんの意味があるの？

この回答へのお礼

極限としての∞には、符号があります。
0 の逆数に符号があるのは変でしょう。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 15:46