∞^0 (無限の0乗)

∞ = 1/0 と定義します。

∞ は数じゃないですが、次のような性質は備えています。
∞ = ∞ (≠ 0)
1/∞ = 0

指数関数において ∞^0 = 1 と定義できますか？

つまり、次のような定義を加えるという意味です。
∞^p = { 0 | p < 0, 1 | p = 0, ∞ | p > 0 }
こう定義すれば、a^p a^q = a^(p+q) という指数法則は成立すると思います。

No.26 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/20 15:06

「∞ = 1/0 と定義」したときに「∞^0 = 1 と定義」できるかどうか, ということであれば答えは yes. それくらいなら

なことじゃない.

この回答へのお礼

分かりました。
では、これを回答として、締め切らせていただきます。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/20 17:36

No.25 回答者： Water_5 回答日時： 2013/02/20 13:13

お礼

> ∞/∞＝１・・・・（１）
これと
> ∞＾(n)＝∞・・・・（２）
を組み合わせるとまずいでしょうね。

∞/∞ = ∞^2/∞ = ∞・・・・（３）
∞/∞ = ∞/∞^2 = 0・・・・・（４）
となります。
--------------------------------------

(1)式は
アレフ０/アレフ０＝１またはアレフ１/アレフ１＝１
のことであって、アレフ０/アレフ１＝０となる。

（２）式は
アレフ０＾（ｎ）＝アレフ１のことである。

したがって、それらをチャンポンで使った
（３）、（４）式の証明は成立しない。

この回答へのお礼

> (1)式は
> アレフ０/アレフ０＝１またはアレフ１/アレフ１＝１
> のことであって、アレフ０/アレフ１＝０となる。

アレフ０やアレフ１と解釈する場合でも、
アレフ０×アレフ０＝アレフ０
などとなります。つまり、
アレフ０＾（ｎ）＝アレフ０
ただしこれは可算濃度の集合同士の直積集合と解釈した場合。

アレフ０＾アレフ０＝アレフ１
は成り立つだろうと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/20 17:31

No.24 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/20 09:02

止めると言った後ですが、あんまり幼稚な言い訳だったんで一言。

指数と底をわざと間違えたのか区別すらできないレベルで語ったのかはわかりませんが、新しいことに挑戦する前にまずは基本を身につけましょう。

この回答へのお礼

> 指数と底をわざと間違えたのか

そういうことはしません。
∞=1/0 という値を追加するのは底の方ですから、底に使う数を非負に制限し、それに正の 1/0 を付け加えるのはあり得ると思ったんです。
指数関数は元々 (0,∞)×(-∞,∞) という底と指数で定義域が異なる関数ですからね。

私のしたことは、(-∞,∞)∪{1/0} という集合で演算を定義するのは無駄だと分かったから、(0,∞)∪{1/0} で考えることにしようとしてるだけです。
私には、底を負数にした指数関数を考える力はないですから。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/20 10:44

No.23 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/20 06:25

加法がかえって改悪されたんで駄目ってことなんですけど。

指数法則も負に適用できない不格好なものになり無理やり感が強くなりましたし、これでは数学的にはつまらないというのが正直な感想です。
お疲れ様でした。この質問に対してはこれで終わりとしますね。

この回答へのお礼

> 指数法則も負に適用できない不格好なものになり無理やり感が強くなりましたし、これでは数学的にはつまらないというのが正直な感想です。

指数関数の低は、通常正の実数ですよ。
底を負数まで拡張し、指数は実数のままという指数関数は見たことないですね。

とはいえ、回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/20 08:35

No.22 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/20 00:41

止めた方が良いのかな。

一応自分の発言の訂正。

a+0=0+a=a

ではなくて、新しい零元Aは全てのaに対して

a+A=A+a=A

(つまり積の零のように振る舞う。ついでに積でもaA=Aa=A)

です。

この回答へのお礼

> 止めた方が良いのかな。

もし通報に至った場合は、お詫び致します。

> 新しい零元Aは全てのaに対して

全てのaとは0も含みますから、0A=A0=A ですね。
これだと A^0=A となります。

やはり、指数法則を成立させるためには、
0A=0
0A=1
0A=A
という３通りの結果が必要ですし、そのためにはこの演算を未定義としなければなりません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/20 03:21

No.21 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2013/02/19 23:50

いやいや、最初の質問趣旨と違ってきてるでしょ。

質問の趣旨から変わるなら、締め切って新しく質問たててよ。
少なくとも、質問文に対する回答は、「質問文が不完全」。

このサイトのベストアンサーも、質問文とかけ離れてたら趣旨に反するでしょ。
質問文意以外が趣旨なら、新しくこの質問を見るひとはかなりの労力を費やさなければならない。

この回答へのお礼

私の質問は、最初から

> ∞ = 1/0 と定義します。

> 指数関数において ∞^0 = 1 と定義できますか？

というものです。

こう定義したので ∞^0 = 1 になりますか、ではありません。

どうしたらそう定義できるかという回答を期待するのは当然です。
あまりにも漠然とした質問なので、「質問文が不完全」と言われるのは仕方ないかもしれませんが、質問の趣旨は変わっていません。

∞ の演算をこう決めれば ∞^0 = 1 となると分かれば、質問の答は「定義できる」。
それが不可能だと分かれば、「定義できない」。
…と私は考えています。

ただ、ものには限度があるので、それはやりすぎだと思うのなら、締め切らせていただきます。
削除されてはもったいないので、あなたの判断を無視したりはしません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/20 02:34

No.20 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/02/19 23:49

列挙いただきありがとうございます。

未定義を
実数∞以外の数(*+両方の添加された零元…+においてもa+0=0+a=aとして振る舞う)
と見なすようにするならば、指数関数以外は wheel theory となるのではないかと見ました(ちゃんとは検証してません。和とかは失敗してそう)。
現状は出来損ないに指数を中途半端に与えたという程度で、あまり数学的には面白くは無さそうですが、何か売りがあったら教えていただきたく思います。

この回答へのお礼

非負の数だけにして、加法は成立するようにしました。
＃１８のお礼に変更後のものが記述してあります。

やはり順序が定義できないのは自分でもまずいと思いました。
実数の部分では通常の演算が成立しなければなりません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/20 02:51

No.19 回答者： Water_5 回答日時： 2013/02/19 22:12

私も恥ずかしながら、無意識でやってしまう。

1/∞＝０
1/０＝∞
∞/∞＝１
∞＝∞
∞＋∞＝∞（この式は公認の公式です）
∞＾（∞）＝∞
∞＾(n)＝∞
ー（-∞）＝∞

∞^（p）ｘ∞^（q） =∞^(p+q)　　指数法則は成り立つ。

この回答へのお礼

> ∞/∞＝１
これと
> ∞＾(n)＝∞
を組み合わせるとまずいでしょうね。

∞/∞ = ∞^2/∞ = ∞
∞/∞ = ∞/∞^2 = 0
となります。

> ∞＋∞＝∞（この式は公認の公式です）
非負の数を排除して、この式が成り立つように変更しました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 23:47

No.18 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/19 21:04

←No.17 補足(または No.16 補足)

a についての説明が無いので、系を 何の集合∪{∞} で
考えているのかすら判らないが、ともかく「未定義」が多すぎる。
何のか集合∪{∞} において、加法や乗法が、最低限
閉じていないと、ほとんどあらゆる議論に耐えない。
x+y とか xy とか書いただけで、x,y が ∞ かそうでないかを
場合分けしなければ、一切の計算ができず、これでは、
何のか集合 と {∞} をひとつに ∪ した意味が何も無い。
…ということは、∞ を定義した意味がない。
もうちょっと、工夫してみようよ。

この回答へのお礼

非負の集合と考えることに変更します。

a は非負の実数です。
∞ も正だとします。
これにより、大小が ∞ > a と決められます。

-- 変更版 --
1/∞ = 0 と定義する。

任意の非負実数を a として、計算結果は次のようになる。
∞ + ∞ = ∞
∞ + a = a + ∞ = ∞
∞ × ∞ = ∞
∞ × a = a × ∞ = ∞ (a≠0)
∞ / ∞ = ∞ × (1/∞) = ∞ × 0 = 未定義
a / ∞ = a × (1/∞) = 0

加法において交換法則、結合法則は成り立つ。
乗法において交換法則、結合法則は成り立つ。
分配法則は成り立たない。

加法単位元は０ … ∞ + 0 = ∞
乗法単位元は１ … ∞ × 1 = ∞
零元はない … ∞ × 0 = 未定義
加法逆元（反数）はない … 負数になるため
乗法逆元（逆数）はない … ∞ × (1/∞) = 未定義
実数より大きい … ∞ > a

1/x = 1/y ならば x = y とする。
∞ = ∞ … 1/∞ = 1/∞

-- ここまで --

少しだけ工夫できました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 22:33

No.17 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/19 20:14

←No.10 補足

＞　∞ と 0 の積が定義されていないのです。
＞　∞0=1 は否定も肯定もされません。

それでは、∞=1/0 じゃないんじゃないか？
「 / 」を、どういう意味で使っている？
体を扱うときには、x=a/b の定義は xb=a。
貴方の ∞ を含む系は、体ではないが…
ともかく、記号の意味は定義してから使わねば。

それから、No.9 補足では、加法がまだ定義されてない。
分配法則やら、それ以前に演算の閉性やら、いろいろ
崩れているようだが、結合法則と交換法則が保たれるなら、
乗法はアレで定義したと言えそう。
特に、分配法則を放棄するなら、加法は乗法とは別に
詳しく記述しないと、何をしようとしているんだか
汲み取りようがない。

この回答へのお礼

＃１６のお礼にて、今までの分をまとめました。参考にしてください。

> それでは、∞=1/0 じゃないんじゃないか？
> 「 / 」を、どういう意味で使っている？

逆元とは成り得ないと認識しましたので、単に定義とします。
1/0 = ∞
1/∞ = 0

たとえば a / ∞ = a × (1/∞) = a × 0 = 0 となります。

負数も同様に、単に定義とします。
-∞ = ∞

四則演算は＃１６の記述ですべて挙げたつもりですが、足りなければ指摘してください。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/19 20:40