自然対数はどこら辺が「自然」なの？

Question

教えてください。

そもそも自然対数という名が与えられた理由は何なのでしょうか？
微分積分を考えていると「自然」にでてくるから？
数学の問題をいろいろと考えているときにさまざまなところに出てきて「自然」だから？
それとも私たちの身の回りの「自然界」にこの対数に従うものが多々あるから？

どうなのでしょうか？

どこかで、「自然界」でよく現れるから自然対数というのだ、という説明を見たような記憶があるのですが、それならば、自然界でよく現れているそのたくさんの実例とは何なのでしょうか？
その説明を見たときには確か示されていなかったように思います。
指数関数や２を底とした対数関数などは菌の増殖などかな、とは思いますが、自然対数となると思い浮かびません。
実例があるのならば何なのでしょうか？教えてください。

以上、
自然対数と名付けられた理由
どこが自然なのか
自然界に現れるならどんな実例があるのか
などについて、何か知っていましたら回答よろしくお願いします。
加えて、出典や参考文献、参考サイトなどがありましたらぜひ教えていただければと思います。

回答、お待ちしております。

okormazd · Accepted Answer

http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm
に、

Origin of the term natural logarithm
 
Initially, it might seem that since the common numbering system is base 10, this base would be more "natural" than base e. But mathematically, the number 10 is not particularly significant. Its use culturally—as the basis for many societies’ numbering systems—likely arises from humans’ typical number of fingers.[6] Other cultures have based their counting systems on such choices as 5, 8, 12, 20, and 60.[7][8][9]
 
loge is a "natural" log because it automatically springs from, and appears so often in, mathematics. For example, consider the problem of differentiating a logarithmic function:[10]
 (ここに数式が入る)
If the base b equals e, then the derivative is simply 1/x, and at x = 1 this derivative equals 1. Another sense in which the base-e-logarithm is the most natural is that it can be defined quite easily in terms of a simple integral or Taylor series and this is not true of other logarithms.
 
Further senses of this naturalness make no use of calculus. As an example, there are a number of simple series involving the natural logarithm. Pietro Mengoli and Nicholas Mercator called it logarithmus naturalis a few decades before Newton and Leibniz developed calculus.[11]
とある。

要するに、
1.
数学で計算していけば自動的に自然に出てくる
2.
余計な係数がつかなくていい
3.
自然界でも自然対数が出てくるものがある
というようなことです。

自然界で現れるもの
放射性物質の壊変とか。
ln(N/N0)=-λt
とか。

他の回答者さんを借りますが、
f(t)=e^(-at)
f(t)=10^(-0.434294at)
どちらでもいいですか?

-0.43429=log(10)x/ln x
で、自然対数が入っていますね。

alice_44 · Answer

＞ logという記号はやや底が10に譲り
ダウト。

数学で ln と書くことは、(無くはないけれど)めったにありません。
log[10] を使うこともあるこれど、自然対数と常用対数が混在する
ことがほとんどない。物理で log[10] と ln が同時に登場するのは、
理論式では ln、数値計算では log[10] と使い分けるからです。
実験科学固有の事情です。

数学で log[e] を log と省略するのは、e に特別な話ではありません。
対数は底を明示して y=a^x ⇔ x=log[a]x と書くのが基本だけれど、
文脈上誤解の恐れが無いときには、log とだけ書いて済ませる。
算術の話題では log[10] を log と書くこともあるし、
情報理論なんかだと、log[2] を log と書いたりします。
それぞれ、そのように冒頭で断ってから使いますが。

数学の様々な分野で log[e] を log と書くことが多い…ということが、
log[e] が「自然」であることそのものだとも言えますね。
数学する上で、自然だと感じられる対数…という意味で。

＞ Napier（ネイピア）がnature（ネイチュア：自然）と音が似ている
これは、素晴らしい！

lazydog1 · Answer

聞いた話で裏が取れないんですが（もしかすると担がれたのかも）。

ですので、話半分で。eが底の対数が「自然対数」"natural logarithm"であるわけですが、eを見出したのはオイラーとされています。しかしeは、「ネイピア数」"Napier's constant"と呼ばれています。

解析学では、もう至る所にeが出てくるわけですが、対数の底は実用的な10から始まったようです。しかし、解析学の都合から言うとeを底にした方がシンプルです。

それで、logという記号はやや底が10に譲り、eを底にすることが自明でないときはlnとはしたものの（前後関係から底がeと分かるときはlog表記も）、どう呼ぶかですね。

自然という名前は、自然数のように最も素朴でシンプルな数に対して遣われます。eを底にする対数は解析学での表記がシンプルになります。しかし、10だって実用的には自然です。ただ、10進数というのは人間の都合でしかなく、それに対してeの方は物理学でも頻出で、特に複素数も使うときは極めて強力です。しかし、換算だけの問題だと言えば、それはそうだと言わざるを得ません。

そこで、Napier（ネイピア）がnature（ネイチュア：自然）と音が似ているので、natureの形容詞であるnaturalをeが底の対数の方に使って自然対数（natural logarithm）とし、10が底の方を実用ではいつも使うということで常用対数（common logarithm）にしたそうです。

P.S.

書いていて、「やっぱり、からかわれたのかなあ。からかわれたのでないなら、都市伝説の類かも」と思いつつ。上記の話を聞いたのはずいぶん前のことです。

alice_44 · Answer

自然界に云々の話では、出てくるのは常に
exp(λx) と係数 λ の入った指数関数であり、
その逆関数は、自然対数ではなく、底が exp(λ)
の対数です。

では、自然対数の何が「自然」かと言うと…
元祖ネイピアの対数と比べて、定義も運用も
簡潔で自然な感じがするということじゃないなあ？

ネイピア本人の対数が、今で言う
log[底0.9999999](x/10000000)
であることを思うと、主観的ながら、
ln は如何にも自然という気持ちがします。

特に、ln x = ∫dx/x という定義の簡潔さが自然。

hugen · Answer

15,16世紀　ヨーロッパは大航海時代で・・・・

参考URL：http://matha.e-one.uec.ac.jp/~naito/kokai.pdf

f272 · Answer

#1，#3さんが言っているように，式が簡単になることが一番の理由でしょう。

「「自然界」でよく現れるから自然対数というのだ」というのは理由になりません。
f(t)=e^(-at)という関数が自然現象の中で良く現れるとしても，同様に理由でf(t)=10^(-0.434294at)という関数も自然現象の中で良く現れます。さて，どちらの関数を使って自然現象を表現するのが「自然」でしょうか？

ask-it-aurora · Answer

<回答No.1お礼

答え方が悪かったですね．すみません．しかし質問を読み間違えたわけではありません．技術的な理由ではなくて出典が欲しいということでしたら英語版のwikipediaに最初に書いたこととほぼ同様のこと（こっちは積分で定義してます）が書いてあります．

The natural logarithm can be defined for any positive real number a as the area under the curve y = 1/x from 1 to a. The simplicity of this definition, which is matched in many other formulas involving the natural logarithm, leads to the term "natural."

変な定数がつかないように定義するのが"自然"だからです．（もちろん他の理由もあるかもしれませんし，何と呼んでもモノは同じですが．）

## ちなみに三角関数で度ではなくラジアンを使うのも似たような理由です．

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

info22_ · Answer

>私たちの身の回りの「自然界」にこの対数に従うものが多々あるから？
こちらが該当します。
y=-ln(x)=-log[e](x)　⇔　x=e^(-y)
どちらかというと
f(t)=e^(-at)という関数が自然現象の中で良く現れるということでしょう。この基底eの指数関数が自然対数と密接に結びついており、同じe(ネイピア数、自然対数の底)を底にもつ対数を自然対数と呼ぶようになったのでしょう。

自然現象の減衰現象や振動の減衰現象の中にeが現れます。
y'+ay=0(a>0)
のような微分方程式では
dy/dt=-ay　...(☆)
dy/y=-adt
ln|y|=-at+c ←自然多数のお出まし。
y=±e(-at+c)=±Ce^(-at)...(★)
と基底eの指数関数による減衰曲線のお出まし。

自然界では(☆)のような微分方程式や
２次のy"-2ay'+b=0　の微分方程式に従う現象（解y=a(e^(-a)t)cos(wt-θ)）
が多いです。
音叉の音の減衰振動、放射能の半減期、太鼓の振動の減衰振動、溶液の濃度の拡散現象、電気現象の過渡現象の減衰現象や振動現象の減衰現象、バネの振動の減衰現象などこのような基底eの指数関数で表される現象が多く、自然現象を数式化する過程で現れる一階微分方程式や２階微分方程式を解く過程で自然対数が現れ、また微分方程式を解いた解として基底eの指数関数（指数部が負）が現れます。

ask-it-aurora · Answer

一言で言うと微分がかんたんになるからです．違う底を取ると定数部分がついて"目障り"なだけです．

参考URL：http://psuke.hungry.jp/math/mathintoro5.html

自然対数はどこら辺が「自然」なの？

＞ logという記号はやや底が10に譲り

聞いた話で裏が取れないんですが（もしかすると担がれたのかも）。

自然界に云々の話では、出てくるのは常に

15,16世紀 ヨーロッパは大航海時代で・・・・

#1，#3さんが言っているように，式が簡単になることが一番の理由でしょう。

<回答No.1お礼

>私たちの身の回りの「自然界」にこの対数に従うものが多々あるから？

一言で言うと微分がかんたんになるからです．違う底を取ると定数部分がついて"目障り"なだけです．

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