A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
別解です。
E=2・∫[0..(L/2)] dEy・dx
={(λ・d)/(2πε)}・∫[0..(L/2)] (d^2+x^2)^(-3/2)・dx
定数部は除いて、
∫[0..(L/2) (d^2+x^2)^(-3/2) dx
の積分を解きます。この手の積分でよく使われる置換は
x=d・tanφ
とする解法でしょう。これを辺々微分して
dx=d・(1/((cosφ)^2)・dφ
また
d^2+x^2=d^2(1+(tanφ)^2)
=d^2・(1/((cosφ)^2))
です。積分範囲も変わるのですが、今回は最後にまとめて処理してしまうことにして、取り敢えず、置換後の積分範囲は
φ:0~δ
とでもしておきます。これらを使って積分すると
∫[0..(L/2)] (d^2+x^2)^(-3/2) dx
=∫[0..δ] {((cosφ)^3)/(d^3)}・{d・(1/((cosφ)^2))・dφ}
=(1/(d^2))・∫[0..δ] cosφ dφ
=(1/(d^2))・sinδ
さらに、図形的にみて
sinδ=(L/2)/√(d^2+(L/2)^2)
∴E={(L・λ)/(4πεd)}・/√(d^2+(L/2)^2)
No.1
- 回答日時:
添付図の様に、名称を付けておきます。
導体外の点Qにできる電場Eを計算することにします。
導体内の、微小長さ dL の部分(R)の電荷 dq による電場 dER は、
dEx と dEy とに分解できますが、dEx は、Oに対してRと反対側にある電荷が作る電場によって打ち消されるので、実質的には dEy だけに注目すれば済みますから、dEyを積分する問題になります。
ところで、積分の仕方は工夫次第でいろいろな手法がありえます。以下では、あまり一般的ではない方法かも知れませんが、積分自体は極めて単純なものになりますので、参考にして下さい。
まずは、添付図の説明です。
Qから、OとRを見たとき、∠OQR=θ
Qから dL部だけを見たときの微小角=dθ
距離 QR=r
とすると、dL部をQから見たときの見掛けの「長さ」は、半径r、中心角dθの扇形の弧の長さと見なせますから、その「長さ」は
r・dθ
となります。拡大部を見て、この弧の長さとdLとの関係を読み取ると
dL=(r・dθ)/cosθ
となりますので、dL部の微小電荷 dq は
dq=λ・dL=(λ・r/cosθ)・dθ
このことから、
dER=(1/(4πε))・dq/(r^2)
=(1/(4πε))・((λ・r/cosθ)・dθ)/(r^2)
=(1/(4πε))・((λ/cosθ)・dθ)/r
また、
dEy=dER・cosθ
={(1/(4πε))・((λ/cosθ)・dθ)/r}・cosθ
=(1/(4πε))・(λ/r)・dθ
△RQOについて
cosθ=d/r
なので
dEy=(1/(4πε))・(λ/r)・dθ
=(1/(4πε))・((λ・cosθ)/d)・dθ
=(λ/(4πεd))・cosθ・dθ
以上から、求める電場EQは、dEyを、θが0~φまでの間で積分した値の2倍となります。
EQ=(λ/(4πεd))・2・∫[0..φ]cosθ・dθ
=(λ/(2πεd))・sinφ
添付図で、Qから、Oと,線導体の一方の端点Pを見る角度がφなので
sinφ=(OP)/(PQ)=(L/2)/√(d^2+(L/2)^2)
ですから
EQ=(λ/(2πεd))・(L/2)/√(d^2+(L/2)^2)
=(λ/(4πεd))・{L/√(d^2+(L/2)^2)}
ちなみに、d>>L の場合(線分全体がO点に集中しているとみなせます)には、
√(d^2+(L/2)^2) → d
L・λ=Q (このQは、線導体全体の電荷)
ですから
EQ=(1/(4πε))・(Q/(d^2))
となり、O点に在る点電荷Qが作る電場と一致します。
また、L→∞ の極限では
L/√(d^2+(L/2)^2) → 1/√((d/L)^2+(1/2)^2) → 2
なので
EQ → (1/(2πε))・(λ/d)
となって、長さ無限大の直線導体が作る電場を与えることもわかります。
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