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ようかんすう【陽関数】
二つの変数xとyの関係がy=f(x)の形で表される関数。

いんかんすう【陰関数】
二つの変数xとyの関係がf(x,y)=0の形で表され、yの値が直接xの値で示されていない関数。例えばx2+y2-1=0・・(1)やx2+2xy+y2=1・・(2)など。


陰関数と言われている(1)より、y=±√(ーx^2+1)・・(3)となるから、そもそも(3)にて、

かんすう【関数】
二つの変数x、yがあって、xの値が決まると、それに対応してyの値が一つ決まるとき、yはxの関数であるという。記号y=f(x)で表す。

から、(3)は関数ですらないんじゃないんですか?


そういうのがあって、陽関数と陰関数の違いが分からないんですが、具体的にどういう違いがあるんですか?高校数学の範囲でお願いします。

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A 回答 (6件)

「関数群を」という言い回しが、鍵かもしれませんね。


方程式が定める関数群の中の個々の関数を陰関数と呼ぶのなら、
それはそれで問題無いのだけれど…
方程式が関数を定めるとは限らないことに変わりはないし、
質問文中の定義には、その部分で明らかに誤解がある。
世間で、「陰関数」という言葉は、
A No.5 の意味で使われているのでしょうか?
質問文の誤解を含んだまま使われているのでしょうか?
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うーん、



私の知っている定義は

以下の形の方程式

f(x, y, z, ・・・) = 0

から導かれる関数群を 方程式 に対する 陰関数(implicit functions) という。

なんですが、やっぱり「誤用」なのかな?
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(3) は、もちろん関数ではない。


関数にするためには、個々の x について
±√ の一方を選ぶ規則を添える必要がある。
A No.2 に書いたように、全て + としてもよいし、
x が有理数なら +、無理数なら - とかでもよい。
なんにしろ、何らか、一意化のための仕掛けが要る。
そうやって (3) から抽出された関数は、
(3) の一部分でしかない。
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>(3)は関数ですらないんじゃないんですか?



x から y が求まれば立派な関数ですよ。
関数(写像)は変数間の関係を表すもの。

それが方程式の形をしててもです。
直ぐに計算できる陽表示だけが関数に
非ずってことです。
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勘違いしている人が(先生や、本の著者にも)少なくないのですが、


「陽関数」「陰関数」という、関数の分類がある訳ではありません。
「陽関数表示」「陰関数表示」という、式の書き方があるだけです。

f(x)=(xの既知関数) と書くのが、f の陽関数表示。
既知の二変数関数 g を使って g(x,f(x))=0 と書くのが、
f の陰関数表示です。
陰関数表示で定義された関数を「陰関数」と呼んでしまうのは、
言葉の誤用です。そんな言い方は、ありません。

陰関数表示の解は、多くの場合、ひとつの曲線ですが、
その解全体が、ひとつの関数のグラフになっているとは限りません。
貴方のが挙げた例が、まさに、それです。

その場合も、解曲線の一部を取り出して、f(x) が x について一意に
なるように、定義域や値域を制限すれば、陰関数表示を
関数 f の定義とすることができます。
(それでも、f を「陰関数」と呼んではいけませんが。)

例えば、f(x)=√(-x2+1) は、x2+f(x)2-1=0 かつ f(x)≧0 によって
定義することもできます。
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単純に


y=f(x) …(◆)
の形で表される関数を陽関数。
f(x,y)=0 …(☆)
の形で表される関数を陰関数
と考えて下さい。

方程式が陽関数の形に書けるか、書けないかは関係ありません。
要は、(◆)、(☆)のどちらの形で表した関数関係かということです。
方程式は、式の整理の仕方により、陰関数、陽関数のどちらでも表せる場合も、陰関数でしか表せない場合もあります。

(3)は±がついた2つの陽関数をあわせた表現に過ぎません。
(3)は円の方程式をyについて解いた式の意味だけです。
 y=√(-x^2+1),
 y=-√(-x^2+1)。
このそれぞれの式を関数の表現で分類すれば陽関数となります。

>そういうのがあって、陽関数と陰関数の違いが分からないんですが、具体的にどういう違いがあるんですか?高校数学の範囲でお願いします。

最初に書いたように、単純に考えて下さい。

>かんすう【関数】
>二つの変数x、yがあって、xの値が決まると、それに対応してyの値が一つ決まるとき、yはxの関数であるという。記号y=f(x)で表す。

f(x,y)=0と書いたとき、x,yのどちらが独立変数で、従属変数であるかは式を扱う人の考え方次第です。yが独立変数でxが従属変数と考えても何ら支障ありません。
上の関数の定義と何ら矛盾しません。
同じ方程式でも、見方により、扱う人により、方程式の解であったり、平方完成した式であったり、因数分解した式であったり、陽関数で表した敷であったり、色々です。
なので、どういう立場でy=f(x)やf(x,y)=0の式を扱うかで変わります。
陰関数、陽関数の立場だけから扱うことにすれば、最初に説明した関数の定義ではっきりわかると思います。

他の概念を一緒に考えるから混乱してくるのだと思います。なので単純に関数の定義だけから考えれば混乱しなくて済むと思いませんか?
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この回答へのお礼

陰関数と陽関数との違いはまるで関数と方程式かのようなんですね。

従属変数と独立変数との違いも同様な概念なんですね。




陽関数と陰関数関係の色々な問題を解き慣れていないのが混乱の原因だと思いました。


ありがとうございました。

お礼日時:2013/05/28 22:15

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Q関数 陽関数 陰関数

陽関数と陰関数について教えて下さい。

まず、陽関数と陰関数は関数における分類ではなく
形式だと理解しています。

x,yを変数、a,bを定数とする。

陽関数形式は、
y=ax^2+bのような形式。

対して、陰関数形式は、
y-ax^2-b=0のような形式。



質問(1)
陽関数形式についての疑問なのですが、
例えば、2y=ax^2+bは陽関数形式と言えるのでしょうか?
y=1/2(ax^2+b)としなければ陽関数形式とは言えない
のでしょうか?

また陰関数形式は、必ず右辺が0でなければならない
のでしょうか?
例えば、y-ax^2=bは陰関数形式と言えないのでしょうか?



質問(2)
関数は、ある値xに対してただ1つのある値yが対応するような関係
だと理解しています。
このとき、y=f(x)と表して、yはxの関数と言う。

例えば、

y^2=x⇔y=±√xです。
陽関数形式と言う場合、1対1の対応がなければいけない
のでしょうか?
y=±√xは陽関数形式と言えますか?


y^2-x=0は陰関数形式と言えるのでしょうか?
y^2=xは、y=±√xと表されyはxの関数ではありません。

陰関数形式と言う場合、1対1の対応がなければいけない
のでしょうか?
y^2-x=0は陰関数形式と言えますか?



以上、ご回答よろしくお願い致します。

陽関数と陰関数について教えて下さい。

まず、陽関数と陰関数は関数における分類ではなく
形式だと理解しています。

x,yを変数、a,bを定数とする。

陽関数形式は、
y=ax^2+bのような形式。

対して、陰関数形式は、
y-ax^2-b=0のような形式。



質問(1)
陽関数形式についての疑問なのですが、
例えば、2y=ax^2+bは陽関数形式と言えるのでしょうか?
y=1/2(ax^2+b)としなければ陽関数形式とは言えない
のでしょうか?

また陰関数形式は、必ず右辺が0でなければならない
のでしょうか?
例えば、y-ax^2=bは...続きを読む

Aベストアンサー

 数学で陰関数と言う時には、普通、「陰関数定理」によって一意的な存在が証明される関数を指します。これは式の形ばかりの話ではないんです。

 一方、ご質問は専ら式の形に注目なさっている。それはそれで結構なのですが、ただ心配なのは、お書きの式は省略だらけであることを自覚なさっているかどうか、言い換えれば、式の意味を正確に捉えていらっしゃるかどうか。
 そこんとこをちょっと考えてみませんか?まず、

(1) y:D→E (yはDからEへの関数である。)
(2) ∀x ( x∈D ⇒ f(x,y)=0)である。(ただしfはなにか具体的な式。)
(1)(2)を共に満たすyを全て求む

と要求されたら、(1)(2)の解の集合は
  Y = { y | y:D→E ∧ ∀x ( x∈D ⇒ f(x,y)=0)}
と書けますね。これはいわゆる関数方程式(関数が解になる方程式)です。ただ、「y:D→E 」だの「∀x ( x∈D ⇒…)」だのが文脈から分かり切ってるという場合、それらを省略して単に
  f(x,y)=0
と書いて済ませちゃったりもする。

 微分方程式も関数方程式。「加法定理」
  y(a+b)=y(a)y(b)
は、もうちっと正確に書けば
  y:D→E かつ、∀a∀b(a∈D ∧ b∧D ⇒ y(a+b)=y(a)y(b))
ということで、これも関数方程式です。そして、ご質問の「陰関数」もまた関数方程式です。(ある関数方程式の解として定義される関数、ということですね。)

 関数方程式
  y^2 = |x|
の解の集合Yは、集合
  Y = {y | y:実数→実数 かつ ( ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =√|x|) または ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =-√|x|) ) }
です。(±√|x| なんてのはYの省略表現に過ぎません。)この関数方程式には二つの解
   y:実数→実数 かつ ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =√|x|)
  y:実数→実数 かつ ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =-√|x|)
がある。ですから、これだけだとyを一意的に定義したことにはなっていません。
 さらに条件を追加して、たとえば y(x)≧0 と要求してやると、これで一つの解が選び出せるので、「陰関数」としてyを定義できます。まとめると、結局
  y:実数→実数 かつ、∀x(x∈実数 ⇒ (y(x))^2 = |x|) かつ、 ∀x(x∈実数 ⇒ y(x)≧0)
という条件で一つの関数yを定義したわけで、そのyを陽に書けば
  y:実数→実数 かつ、∀x(x∈実数 ⇒ y(x) = √|x| )
ですけど、これを省略して
  y(x) = √|x|
と書いて済ませているわけです。

 同様のことは微分方程式ではおなじみです。たとえばy:実数→実数について、微分方程式
  dy/dx = y
の解を
  y = C (e^x)
と書いて済ませますけど、これは
  Y = { y | y:実数→実数 かつ C∈実数 かつ ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =C (e^x)) }
という解の集合のことです。さらに条件を追加して、たとえば
  y(0) = 1
を要求すると、ようやくyが一意的に決まります。

 こういう捉え方をすると、
  y(x) = √|x|
も(自明に解けているけれど)関数方程式には違いない。というわけで、ご質問で導入された用語を使って言うなら、
  「陽関数形式」とは自明に解けている「陰関数形式」のこと
ですよね。既に見たように、厳密なことを考慮すると式だけ書いても不足で、実はいろいろ条件が付帯している。そういうことまで考えますと、単に式の格好だけに注目する見方にばかりこだわるのもちょっとどうかな、という気がしてきません?


> 質問(1)

は勝手に作った用語である「陰関数形式」「陽関数形式」についての質問なんですから、答えられるのは質問者氏ただひとり。要するに「陰関数形式」「陽関数形式」という用語の定義がまだ曖昧なんですね。

> 質問(2)

 ある関数yを定義する、という意味では、仰る通り、解が丁度一つになるように条件を与えねばなりません。
 しかし、たとえば「y^2 = |x|を満たすyが、以後、y^2の形でしか使われない」という使い方をする場合なら、解が二つあるままでも(それぞれの解は、それぞれ関数なのですから)問題は起こらないでしょ。
 さて、これとは別の話として、

> y^2-x=0は陰関数形式と言えますか?

は、「陰関数形式」という用語に関する問いである。なので、答えられるのは、質問(1)と同様、ご自身だけです。

 数学で陰関数と言う時には、普通、「陰関数定理」によって一意的な存在が証明される関数を指します。これは式の形ばかりの話ではないんです。

 一方、ご質問は専ら式の形に注目なさっている。それはそれで結構なのですが、ただ心配なのは、お書きの式は省略だらけであることを自覚なさっているかどうか、言い換えれば、式の意味を正確に捉えていらっしゃるかどうか。
 そこんとこをちょっと考えてみませんか?まず、

(1) y:D→E (yはDからEへの関数である。)
(2) ∀x ( x∈D ⇒ f(x,y)=0)である。(ただしfはな...続きを読む

Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

Aベストアンサー

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点(の集合)のことです.
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q陰関数表示からの変換は可能?

陰関数表示からパラメータ表示に変えることは可能ですか?

もしできるのでしたら、楕円もしくは双曲線を例として教えて下さい。

楕円:x^2/a^2+y^2/b^2-1=0⇒x(t)=a cos t ,y(t)=b sin t
双曲線:x^2/a^2-y^2/b^2-1=0⇒x(t)=a cosh t ,y(t)=b sinh t

Aベストアンサー

どんなパラメータ表示をするかに非常に強く依存しますが,
恐らく質問者さんが望むような表示を作ることは,一般には不可能です.


大前提として,どんな図形でもパラメータ化することはできます.
(濃度の等しい集合を持ってきて全単射を作ればよいだけです.)

しかしそれでは実用的には意味が無いので,
例えば,滑らかな関数や,有理式・初等関数だけでパラメータ化する,
といったことが(主にCGの分野で)現在でも盛んに研究されています.
(きっと質問者さんが望むのも,こちらだと思います.)

ただし,そのようなパラメータ化を作る問題は非常に難しく,
一般には以下の2つの意味で,現実的には不可能だと言えます:
 (1) そもそもパラメータ化できない図形が存在する.
 (2) パラメータ化可能だが,具体的な方法が知られていないものが存在する.
もちろん,図形やパラメータ化のクラスの定め方次第で,
簡単に解ける場合もあったりしますが.

ちなみに,質問者さんの例は簡単にパラメータ化できる例です.
つまり,方程式を陽に解いてやって,文字を置き換えた
 x(s,t) = as√(1 - t^2/b^2)
 y(s,t) = t
は,初等関数によるパラメータ化の1つです(ただし s ∈ {-1,1},t ∈ [-b,b]).
また,それは2次曲線なので,三角関数などを使ったパラメータ化の自動導出も可能ですが,
パターンマッチング的なことをするので,特に説明するものでもありません.

どんなパラメータ表示をするかに非常に強く依存しますが,
恐らく質問者さんが望むような表示を作ることは,一般には不可能です.


大前提として,どんな図形でもパラメータ化することはできます.
(濃度の等しい集合を持ってきて全単射を作ればよいだけです.)

しかしそれでは実用的には意味が無いので,
例えば,滑らかな関数や,有理式・初等関数だけでパラメータ化する,
といったことが(主にCGの分野で)現在でも盛んに研究されています.
(きっと質問者さんが望むのも,こちらだと思います...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q変数とパラメータとは違うものでしょうか?

変数とパラメータとは違うものでしょうか?
もし違いがあるのならば、どういう違いがあるのでしょうか?
たとえば、y=ax+bという式では、yとxは変数で、aとbはパラメータみたいな、いいかげんな理解しかありません。
(aとbが変数になり、yとxがパラメータになることもあることはわかります。)
解説のあるURLとかもあったら教えてください。

Aベストアンサー

>たとえば、y=ax+bという式では、yとxは変数で、aとbはパラメータみたいな、
>いいかげんな理解しかありません。

そのような理解でいいと思いますよ。

さらに簡単な式を考えて: y=f(x)=ax
こうして書かれた関数fはxの陽の関数ですが実は沢山の直線を含みます。
補助変数aを1、2,3・・・と変えていくと確かにそうなりますね。
f(x;a)=ax とでき、fは見た目にはaにもxにもよる関数になります。
言葉でいうとこの方程式はパラメータaに依存した式です。
aの値を異なるように固定することによって個々の関数の性質は違ってきます。
f(x;1)=x  :yはxの値に等しい。
f(x;0)=0  :yはxの値に関わらず常に0である。
とこの二つの関数は違いますね。
これはパラメータaの値に依存して方程式の性質が変わってしまったのです。

グラフ上では単なるy=xとy=0の違いですが、
物理的に考えるとある物理量yはある物理量xに単純依存するのか、
それとも物理量xがいかなる量を取ろうとも物理量yは表れず観測されない
のかとでは、かなり大きな違いです。
統計量にしても、xを夏の一日の最高温度、yを清涼飲料水の一日の売上金
としてその相関をaと考えれば、相関がないとするとf(x;0)=0となり、
現実に合わない結果になります。このような場合xとyが関係あるのか無いの
かは調べて実際みないと分からないので取りあえず生のデータを取ってみて
統計からきめます。例えば最小二乗法によってaを決めます。

>たとえば、y=ax+bという式では、yとxは変数で、aとbはパラメータみたいな、
>いいかげんな理解しかありません。

そのような理解でいいと思いますよ。

さらに簡単な式を考えて: y=f(x)=ax
こうして書かれた関数fはxの陽の関数ですが実は沢山の直線を含みます。
補助変数aを1、2,3・・・と変えていくと確かにそうなりますね。
f(x;a)=ax とでき、fは見た目にはaにもxにもよる関数になります。
言葉でいうとこの方程式はパラメータaに依存した式です。
aの値を異なるように固...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む


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