陽関数と陰関数の違いについて。

ようかんすう【陽関数】
二つの変数xとyの関係がy＝f（x）の形で表される関数。

いんかんすう【陰関数】
二つの変数xとyの関係がf（x,y）＝0の形で表され、yの値が直接xの値で示されていない関数。例えばx2＋y2－1＝0・・(1)やx2＋2xy＋y2＝1・・(2)など。


陰関数と言われている(1)より、ｙ＝±√（ーx^2＋１）・・(3)となるから、そもそも(3)にて、

かんすう【関数】
二つの変数x、yがあって、xの値が決まると、それに対応してyの値が一つ決まるとき、yはxの関数であるという。記号y＝f（x）で表す。

から、(3)は関数ですらないんじゃないんですか？


そういうのがあって、陽関数と陰関数の違いが分からないんですが、具体的にどういう違いがあるんですか？高校数学の範囲でお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/24 14:23

「関数群を」という言い回しが、鍵かもしれませんね。

方程式が定める関数群の中の個々の関数を陰関数と呼ぶのなら、
それはそれで問題無いのだけれど…
方程式が関数を定めるとは限らないことに変わりはないし、
質問文中の定義には、その部分で明らかに誤解がある。
世間で、「陰関数」という言葉は、
A No.5 の意味で使われているのでしょうか？
質問文の誤解を含んだまま使われているのでしょうか？

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/05/24 11:01

うーん、

私の知っている定義は

以下の形の方程式

f(x, y, z, ・・・) = 0

から導かれる関数群を 方程式 に対する 陰関数(implicit functions) という。

なんですが、やっぱり「誤用」なのかな？

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/23 19:52

(3) は、もちろん関数ではない。

関数にするためには、個々の x について
±√ の一方を選ぶ規則を添える必要がある。
A No.2 に書いたように、全て + としてもよいし、
x が有理数なら +、無理数なら - とかでもよい。
なんにしろ、何らか、一意化のための仕掛けが要る。
そうやって (3) から抽出された関数は、
(3) の一部分でしかない。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/05/23 18:55

>(3)は関数ですらないんじゃないんですか？

x から y が求まれば立派な関数ですよ。
関数(写像)は変数間の関係を表すもの。

それが方程式の形をしててもです。
直ぐに計算できる陽表示だけが関数に
非ずってことです。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/22 20:34

勘違いしている人が(先生や、本の著者にも)少なくないのですが、

「陽関数」「陰関数」という、関数の分類がある訳ではありません。
「陽関数表示」「陰関数表示」という、式の書き方があるだけです。

f(x)=(xの既知関数) と書くのが、f の陽関数表示。
既知の二変数関数 g を使って g(x,f(x))=0 と書くのが、
f の陰関数表示です。
陰関数表示で定義された関数を「陰関数」と呼んでしまうのは、
言葉の誤用です。そんな言い方は、ありません。

陰関数表示の解は、多くの場合、ひとつの曲線ですが、
その解全体が、ひとつの関数のグラフになっているとは限りません。
貴方のが挙げた例が、まさに、それです。

その場合も、解曲線の一部を取り出して、f(x) が x について一意に
なるように、定義域や値域を制限すれば、陰関数表示を
関数 f の定義とすることができます。
(それでも、f を「陰関数」と呼んではいけませんが。)

例えば、f(x)=√(-x2+1) は、x2+f(x)2-1=0 かつ f(x)≧0 によって
定義することもできます。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/22 17:05

単純に

y=f(x)　…(◆)
の形で表される関数を陽関数。
f(x,y)=0　…(☆)
の形で表される関数を陰関数
と考えて下さい。

方程式が陽関数の形に書けるか、書けないかは関係ありません。
要は、(◆)、(☆)のどちらの形で表した関数関係かということです。
方程式は、式の整理の仕方により、陰関数、陽関数のどちらでも表せる場合も、陰関数でしか表せない場合もあります。

(3)は±がついた２つの陽関数をあわせた表現に過ぎません。
(3)は円の方程式をyについて解いた式の意味だけです。
　y=√(-x^2+1),
　y=-√(-x^2+1)。
このそれぞれの式を関数の表現で分類すれば陽関数となります。

>そういうのがあって、陽関数と陰関数の違いが分からないんですが、具体的にどういう違いがあるんですか？高校数学の範囲でお願いします。

最初に書いたように、単純に考えて下さい。

>かんすう【関数】
>二つの変数x、yがあって、xの値が決まると、それに対応してyの値が一つ決まるとき、yはxの関数であるという。記号y＝f（x）で表す。

f(x,y)=0と書いたとき、x,yのどちらが独立変数で、従属変数であるかは式を扱う人の考え方次第です。yが独立変数でxが従属変数と考えても何ら支障ありません。
上の関数の定義と何ら矛盾しません。
同じ方程式でも、見方により、扱う人により、方程式の解であったり、平方完成した式であったり、因数分解した式であったり、陽関数で表した敷であったり、色々です。
なので、どういう立場でy=f(x)やf(x,y)=0の式を扱うかで変わります。
陰関数、陽関数の立場だけから扱うことにすれば、最初に説明した関数の定義ではっきりわかると思います。

他の概念を一緒に考えるから混乱してくるのだと思います。なので単純に関数の定義だけから考えれば混乱しなくて済むと思いませんか？

この回答へのお礼

陰関数と陽関数との違いはまるで関数と方程式かのようなんですね。

従属変数と独立変数との違いも同様な概念なんですね。




陽関数と陰関数関係の色々な問題を解き慣れていないのが混乱の原因だと思いました。


ありがとうございました。

お礼日時：2013/05/28 22:15