（a+bi）の三乗根は実数値としてもとめることはできますか？

（a+bi）の三乗根は実数値としてもとめることはできますか？　
ただし、iは虚数のiです。

カルダノの方程式を解こうと思ったら平方根の中が負の値になってしまい、そのせいで三乗根の中に虚数のiが含まれてしまいました。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/27 22:31

b≠0 なら、(a+bi) の三乗根は実数値じゃありませんが。

(a+bi) の三乗根の実部・虚部を実数値で求めたい ということなら…
まず、(a+bi) を極形式に変換しましょう。それで、ほぼ完了です。

r = √(a^2+b^2), θ = arctan(b/a) と置いて、
(a+bi) = r exp(iθ) ですから、

(a+bi) の三乗根 = (r の三乗根) exp(iθ/3)
= (r の三乗根){ cos(θ/3) + i sin(θ/3) }
= { (√(a^2+b^2) の三乗根) cos( arctan(b/a) /3 ) } + i { (√(a^2+b^2) の三乗根) sin( arctan(b/a) /3 ) }

最後の行の二つの { } 内は、どちらも実数の計算ですね。

No.2 ベストアンサー 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/04/27 22:46

>カルダノの方程式を解こうと思ったら平方根の中が負の値になってしまい

よくあることです。大抵それ以上「簡単」な形にはなりません。

この回答へのお礼

なるほど。普通のことなんですね、ありがとうございます！

お礼日時：2010/05/09 07:58

No.3 回答者： banakona 回答日時： 2010/04/27 22:51

ｂ≠０の場合、無理ですね。

３次方程式が３つの実数解を持つ場合、補助方程式の解は虚数になります。

この際ですから、立方根を、虚数も含めて３つ求める方法を覚えておきましょう。

１．（a+bi）の絶対値ｒを求める。　ｒ＝√（ａ^2＋ｂ^2）
２．ｒの立方根（実数でOK）を求める。　（この時点で関数電卓が必要になるかも。）
３．２で求めた立方根を半径、原点を中心とする円を描く（ｘ軸が実部、ｙ軸が虚部のガウス平面に描いてください）
４．（a+bi）の偏角θを求める．　０≦θ＜２π　としておきましょうか。
５．θ／3を偏角とし、絶対値が「２で求めた立方根」である複素数を３のガウス平面に描く。　（３で描いた円の周上の１点となります。）
６．５で描いた１点を始点として、３で描いた円の周囲を３等分する

６で描いた３つの点が（a+bi）の立方根。ちなみにｂ＝０の場合もこの方法で求めることが可能です。

言葉だけでは分かりにくければ、「極形式」や「ド・モアブルの定理」で検索して見て下さい。

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5123186.html

No.4 回答者： banakona 回答日時： 2010/04/28 22:57

補足：偏角を求める際は、注意しましょう。

求める対象が第2象限や第3象限にある場合に、安易にarctanを使うと痛い目にあいます。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/30 20:59

arctan と書いても、漢字で偏角と書いても、

意味にあまり違いはないが…

複素 tan に慣れていなければ、
θ は -π/2＜θ≦π/2 の範囲にしておくのが
無難ではある。

そのためには、(a,b) が第二第三象限にある場合、
r を負数にして、ベクトルの向きを反転しておく。
r が負でも、r の実三乗根を求めるのに
支障はないから。