テイラー展開 「x=aの近くで…」の意味

大学１年生の者ですが、質問させていただきます。

先日授業にて、テイラー展開というものが出てきました。

その中で、「…一般の関数f(x)をx=aの近くでx-aのベキ級数に展開し、その係数a(n)を定めるのがテイラー展開の理論…」という表現があったのですが、「x=aの近くで」という言葉の意味がよく分かりません。

f(x)のx=a付近でのみ、ベキ級数に表せるということでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/30 04:31

「x=aの近くで」は|x-a|<<1（|x-a|<ε(小さな正数)）ということです。

テイラー展開では(x-a)のべき乗で展開することを意味し
f(x)=a(0)+a(1)(x-a)+ … +a(n)(x-a)^n + …
ここでa(n)=f^(n)(a)/n!
とべき乗展開したとき、
f(x)をn項で打ち切っても|x-a|<<1であれば
f(x)～a(0)+a(1)(x-a)+ … +a(n)(x-a)^n
と近似しても、非常に良い近似式になる。つまり近似精度がよいことを意味します。
x=aの近くでなくてx=aから遠くなるにつれ、n項打ち切りの近似式の精度が悪化し近似誤差が大きくなります。
逆に言えば、x=aから遠くなるにつれf(x)のテイラー展開の収束が悪くなる（挙句は発散する）ことになりかねません。
なので、テイラー展開は「x=aの近くで」という表現ではより少ない項の和で近似してもf(a)の良い近似値が得られる。そのためのべき級数展開がテイラー展開ということです。
なお、テイラー展開が収束する「x=aの近くで」の範囲の上限が収束半径Rと呼ばれています(|x-a|<R)。

お分かりになりましたでしょうか？

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/30 13:30

教科書で「べき級数」についての説明を読み直し、

「収束半径」とは何かを確認しましょう。
一般に、複素数列 a(n) に対し、実数 R があって、
｜z｜＜R のとき、べき級数 Σ a(n) zのn乗 は
一様絶対収束します。
与えられた べき級数に対して、このような R の
最大値を「収束半径」と言います。

テイラー展開も、
べき級数ですから、収束半径を持ちます。
テイラー展開は、収束する場合には、もとの関数に
一致する というのが、テイラー展開の理論です。

質問の「x=a の近くで」というのは、
｜x-a｜＜R のことを指しているのです。
x と 1 との大小関係や、主観的に小さいか
どうかは、関係がありません。