L^2(R)で0に収束するけど、L^1(R)では収束しない関数列をあげて頂きたいです。

L^2(R)で0に収束するけど、L^1(R)では収束しない関数列をあげて頂きたいです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/10 08:14

L^2(R) というのは、∫[-∞<x<+∞] f(x)^2 dx が収束するような f(x) の集合、

L^1(R) というのは、∫[-∞<x<+∞] f(x)^1 dx が収束するような f(x) の集合
のことです。

定数関数 0 は L^1(R) の元でもあるので、
「L^2(R)で0に収束するけど、L^1(R)では収束しない関数列」
という言葉は意味をなしません。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/11/11 10:50

自然数nに対して

関数
f_n:R→R
を
|x|≦n^3の時　f_n(x)=1/n^2
|x|>n^3 の時　f_n(x)=0
と定義すると

lim_{n→∞}∫_{-∞～∞}(|f_n(x)|^2)dx
=lim_{n→∞}∫_{-n^3～n^3}(1/n^4)dx
=lim_{n→∞}2n^3/n^4
=lim_{n→∞}2/n
=0
だから
{f_n}はL^2(R)で0に収束する

lim_{n→∞}∫_{-∞～∞}|f_n(x)|dx
=lim_{n→∞}∫_{-n^3～n^3}(1/n^2)dx
=lim_{n→∞}2n^3/n^2
=lim_{n→∞}2n
=∞
だから
{f_n}はL^1(R)で∞に発散する