0.999…（無限）と端数処理

0.999…（無限）と1は数値としては完全に一緒ですよね。では、(1÷3)×3の答えの小数点第２位以下を切り捨てたら、それは0.9なのでしょうか？それとも1.0、つまり1なのでしょうか？

以下、数学とは離れてしまいますが、質問の背景を補足します。

私は建設業にたずさわっているのですが、公共工事の場合、請負代金の4割を限度に発注者から前金払してもらえる制度があります。
役所の予算は会計年度ごとに決まっているため、工期が会計年度をまたぐ場合は、各会計年度で前金払が行われます。なお、前払金の金額単位は決まっており、発注者により1万円単位、10万円単位など様々です。

具体的には、ある役所が発注する「年度またぎ工事」について、請負代金の総額は3億1,500万円なのですが、平成25年度が1億500万円、平成26年度が残りの2億1,000万円と分割されています。
前払金の総額は総請負代金の4割である1億2,600万円ですが、この発注者では、各年度の前払金額は、請負金額の年度比率に按分して1万円単位で支出されることになっています。

各年度の前払金額は、私は平成25年度が「4,200万円」、平成26年度は「8,400万円」だと思うのですが、発注者側はそれぞれ「4,199万円」と「8,399万円」だというのです。

発注者によると、平成25年度分は「(105百万円÷315百万円)×126百万円＝41,999,999.999…（無限）円」なので、1万円未満を切り捨てて「4,199万円」であると。また、平成26年度分は、前払金総額1億2,600万円の残りの8,401万円でもなく、平成26年度分の請負代金2億1,000万円の4割である8,400万円でもなく、やっぱり「(210百万円÷315百万円)×126百万円＝83,999,999.999…（無限）円」なので、1万円未満を切り捨てて「8,399万円」らしいのです。

要は、端数処理の問題なのですが、0.999…（無限）と1が完全に一緒なのであれば、41,999,999.999…（無限）円と4,200万円も、83,999,999.999…（無限）円と8,400万円も、それぞれ同額なのではないでしょうか。

「行政のルール」と言われればそれまでですが、数学的にはどうなのかなと思い、質問させていただきました。ご教示のほど、よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2013/07/03 22:01

＞間違いです。

1と0.9・・・は同一ではないから小数点がある。

間違いじゃないんですよね。
質問者さんが書かれている建設業の話とは完全に離れてしまいますが、
数学的には0.999... = 1です。

No.2 回答者： HAL007 回答日時： 2013/07/03 21:57

>>0.999…（無限）と1が完全に一緒なのであれば

間違いです。1と0.9・・・は同一ではないから小数点がある。
数学で同一と見たら何も苦労はしない。

>>1万円未満を切り捨てて「4,199万円」であると
四捨五入して切り上がった場合、丸めた数字で４割（40%）を越えれば・・・
彼等は法律に従っているでしょうから仮にそれが40.01%になれば払い過ぎだから
四捨五入は出来ないと言っているのかも。

仕事の経験からですが、法律で上限が決められたものは四捨五入ではなく切り捨て処理です。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2013/07/03 21:52

＞(1÷3)×3の答えの小数点第２位以下を切り捨てたら、それは0.9なのでしょうか？

＞それとも1.0、つまり1なのでしょうか？

そもそも、(1÷3)×3は、数学的には厳密に1です。
ただし、あまり性能がよくない電卓か何かで
1÷3の時点での途中経過が0.33333333と有限の桁数になった『後で』
3をかけると、0.99999999になります。
0.99999999の小数点第2位以下を『切り捨てると』、
その結果は当然のことながら0.9です。