「9.999…」は10「未満」か「以上」か？

10を境に何かを決める場合で、計算結果が「9.999…（無限に9）」となったとき、それは10「未満」に含まれますか？それとも10「以上」に含まれますか？

以下、質問の背景を申し上げます。

法人税法では、減価償却限度額や寄付金の損金算入限度額など、様々な限度額が設定されています。その限度額を計算した結果、円未満の端数が生じた場合は、特に指定がなければ端数を切り捨てることになっています。正確に言うと「（償却限度額）に達するまでの金額とする」（法人税法第31条）という言い方をしています。

例えば、ある限度額を計算した結果、「99,999.999…（無限に9）」となった場合、確定申告書に記載すべき限度額は、「99,999円」と記入することになっているのです。しかし、数学上「0.999…（無限に9）」が「1」と等しいのであれば、この場合の限度額は「100,000円」でよいのではないか、決して端数処理（切り上げや四捨五入）をしているわけではない、と私は思うのです。

たった1円のことですが、この他にも例えば「5万円以上10万円未満の場合は○○」、「10万円以上15万円未満は××」という具合にテーブルが階段式の場合、その1円のために結果が大幅に変わってくることもあるのです。

以上のような背景により冒頭の質問をしたわけです。もとより、日常生活が学問どおりいかないこともよくあることは承知しています。だからといって、このような日常的な経済活動における計算結果というのは、誰が行っても同じように出るべきものでしょうから、この場合よりどころとなるのは「学問」だと思います。ご教示のほどよろしくお願いいたします。

No.18 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/07/20 15:50

＞・・・計算結果が「9.999…（無限に9）」となったとき・・・

　この計算結果「9.999…（無限に9）」は、電卓か何かの表示結果を見てそう思ったのでしょうか？。以下、その前提で書きます。

　憶測ですが、「（償却限度額）に達するまでの金額とする」（法人税法第31条）の当初の目的は、たんなる循環小数対策だったはずです。

　　\40,000/3＝\13,333.333333・・・（無限に3）　　　(1)

のようなケースです。つまり割り切れない場合です。

　(1)のような場合、法人税法第31条の「決め」に問題はなく（妥当かどうかは別として(^^；)）、\13,333が限度額になります。

　ところがその後、電卓とパソコンが普及しました。試しに\33,000/1.1をやらせてみると、

　　\33,000/1.1＝\29,999.999999999996　　　　　　(2)

という結果になります。しかし(2)が、絶対に\30,000なのは明らかです。電卓などの結果表示では、(2)の末尾「6」が省略されたのではないか？、と思います。

　これは電卓やパソコンという「機械の仕様」のために、こういう事が起こっているだけであって、少なくとも経理の計算上では、「9.999…（無限に9）」などという計算結果は「絶対に出ません」。筆算すればわかるように、たんに、

　　\33,000/1.1＝\30,000　　　　　　　　　　　　　　　(3)

になるだけです。

　電卓やパソコンのなかった昔は全部筆算でやってたんですから、(3)が\29,999の訳はありません。とは言え、経理の計算は長くて複雑です。

　計算機の結果が「9.999…（無限には続かない）」だった時、本当に「9.999…（無限には続かない）」なのか、本当は「10」なのかは、人間の方で判断する必要があります。それには(2)に戻って(3)を見抜くしかないです。ところが経理の計算は長くて複雑なので、そういう検算が困難な状況も容易に想像はできます。

　こういう事もあるので、税理士という職業が成り立つのかな？、とも思います。

No.17 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/19 14:43

＞ ある限度額を計算した結果、「99,999.999… (無限に9)」となった場合、

＞ 確定申告書に記載すべき限度額は、「99,999円」と記入することになっている
＞ のです。しかし、数学上「0.999… (無限に9)」が「1」と等しいのであれば、
＞ この場合の限度額は「100,000円」でよいのではないか、決して端数処理
＞（切り上げや四捨五入）をしているわけではない、と私は思うのです。
＞　たった1円のことですが、

それは、その限度額を計算するときの、端数処理についての規定の問題です。
数学とは、あまり関係がありません。
計算の結果が 99,999.999… (無限に9) であれば、それは数学上は、厳密に
100000 に等しい。この点に、議論の余地はありません。証明も簡単です。

それを「99,999円 と記入することになっている」のであれば、法律上は
そのような計算手順が定められているということ。結果が 99,999.999… に
なったというのが錯覚で、法定の計算方法では、結果は 99,999.999… ではなく、
99,999 だったということなのです。法規をよく確認して、正しい手順で計算する
ことが必要です。

99999.999… = 100000 ですから、数学的には、99999.999… は
100000 以下であり、同時に 100000 以上でもあり、100000 未満ではありません。
この辺がモヤモヤしてしまう原因として、99999.999… = 100000 の不理解の
他に、あるいは、「以下」「未満」の不理解も関与しているかもしれません。
0.1230001 を切り上げで小数第 3 位までに丸めると、0.124 ですが、
小数第 4 位だけを見て 0.123 だと思ってしまうひとは、たまに見かけます。

No.16 回答者： mg5gm 回答日時： 2013/07/19 03:45

1/3×3=1　はご納得頂けますよね

じゃあ1/3=1÷3を計算した下の式もいいですね

(0.33333:無限小数)×3=1

無限小数部を計算しましょう

0.9999:無限小数=1

ということです。

No.15 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2013/07/18 19:20

計算結果が「9.999…（無限に9）」になる事はありません。

（そのような場合は普通に計算すると10になります）
計算機がそうなるのは端数を何桁かで捨ててしまうからです。
そうなった場合は正しい計算をしていないことになり、
無限に9が続いている状態でもありません。

No.14 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/07/18 18:36

　経理上のルールはルールとして数学とは別にしておきましょう。

数学的に考えて、厳密に「0.999…＝1」（…は同じものが無限に続く、以下同じ）であることとは別問題です。

　しかし、0.999…＜1ではなく、0.999…≒1でもなく、厳密に0.999…＝1です。厳密な証明とはされていないようですが、以下のような説明があります。

１）
　0.999…＝0.333…×3＝(1/3)×3＝1。1/3＝0.333…であることを使っています。

２）
　0.999…＝xと置く。9x＝10x-x＝9.999…－0.999…＝9,　∴9x＝9　∴x＝1

　0.999…を10倍、100倍、…としていっても、同様に、厳密に9.999…10、99.999…＝100、…となります。

　同様に、2.999…＝3などとなりますから、ある桁からずっと9が続く数には、厳密に等しい別の表記があるわけです。小数点以下がずっと9であれば、それは整数になります。

　ご懸念されておられるように、小数点以下がずっと9の数を小数点以下切り捨てとすると、『厳密に』1円の不足が生じます。それを続けていけば、支払いなら未払いが溜まって行き、受領なら損失が溜まって行きます。

　おそらく、別の計算方法（分数のまま、手順の前後等々）をすると、小数点以下ずっと9が続かず、見かけ上は小数点以下四捨五入（または切り上げ）したような結果が得られるのではないかと思います。

　その辺りを確認されて、やはりおかしいということを報告されてはいかがでしょうか。

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/18 12:42

こういうのは無限にこじつけてもしょうがないです。

計算順序、計算誤差の取り扱いを取り決めてください。

取り決めが無いなら計算結果は一致しません。
必要なのはルールで、数学の理論ではありません。

No.12 回答者： Mathmi 回答日時： 2013/07/18 11:18

数学上どうであれ、そこまで厳密に定めるなら、計算誤差(コンピュータによる演算誤差や精度により桁落ち等)や、どの時点で端数処理を行うのかも考えないといけないんじゃないでしょうか？

経理という事は実用上、全部手計算でやる訳にはいかないでしょうから(手間もそうですが、計算ミスの問題もあります)。

No.11 回答者： essentieel 回答日時： 2013/07/18 10:34

迷うことなく１です。

例えば、循環小数にならない（循環節が０）少数。
小数点以下の個数が有限なら有理数、無限なら無理数。
0.99999…が１でないと主張するなら、
（循環節が０の）小数の小数点以下の個数が無限でも有理数となってしまいます。

それに、任意の有理数ｍ、ｎ（ｍ＜ｎ）の間には、ｍ＜ｑ＜ｎとなる無理数ｑが必ず存在します。
0.99999…と１の間にある、無理数は何ですか？

因みに、確定申告の計算の問題は数学とは別の問題です。
数学ではこうだからという理由で、
税額の計算方法を変えることはできません。

No.10 回答者： stomachman 回答日時： 2013/07/18 10:04

> 実際のところ「0.999…（無限に9）」と「1」が等しいことは、一般にはあまり普及していません。

　(http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8161082.html)

とお書きの通り、ご質問の答が「以上」であることは質問者氏自身がよくお分かりであって、その上でのご質問なのでしょう。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/32339.html


　集まった回答を見ると、うーん、確かに普及してないようですね。


　ところで実際上の問題としてはどうか。

> 例えば、ある限度額を計算した結果、「99,999.999…（無限に9）」となった場合

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8161082.html のように、計算の手順と端数の処理方法がこと細かに指定されている場合にはその通りにやるしかなく、するともちろん、端数処理をした結果が「99,999.999…（無限に9）」という答になることはあり得ないですね。
　なので、「99,999.999…（無限に9）」ということが生じる可能性があるのは、計算の手順や端数の処理方法がこと細かに指定されてはいない（普通の算数として計算すれば良い）場合に限られます。その場合、答が「99,999.999…（無限に9）」になっちゃったらそれは計算の手順がヘタクソなんです。分数を使って計算するか、あるいは割り算を最後にやれば、「99,999.999…（無限に9）」という答が出ることはありません。（つまりこのご質問は、qa/8161082とは、かなり違う話なんです。）

No.9 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2013/07/18 09:09

No.8 訂正です。

> つまり、a(n) = 1 (n → ∞)

これ、まちがいです。

a(n) → 1 (n → ∞) ですね。

それだけではなんなので。

0.999.... という「無限小数」を、 0.9, 0.99, 0.999, .... の「極限値」として定めるわけですが、「極限値」というのは、まさに、「限りなく近づくその到達点にある数字」のことです。
だから、0.999... というのが 1 でないという主張をする場合、まず、0.999... というのを、「どのように（たとえば、極限値を使わない何かの方法で）定義したか」を明確にしなければなりません。

少なくとも、定義無しで、「数学的に」議論をすることはできません。