数学における「定義できない」について

今微分・積分を勉強していて、1/xを積分するとlogXになることをならったところです。
これについて考えているとき、ふと思ったのですが、例えばa^bを普通に積分すると、(1/(b+1))a^(b+1)ですよね？
これを1/xでやると、1/x=x^-1だから、1/0・x^0=1/0・１となり”定義できない”ことになりますよね？＜質問の趣旨はここではないのですが、もし間違っているようでしたら訂正をお願いします。＞

こ例外にも数学にはいろいろと定義できないものがありますが、この1/xの積分にみられるように、かたや定義できない道筋がありながら、無理やり（？）計算してしまっているものがあるような気がします。数学のテスト等ではその「解」を求められますが、結局のところ、これらの問題は”定義できない”のではないでしょうか？

屁理屈なのは重々承知ですが、皆さんの知識や意見を、できれば高校生にもわかるように、お教えください。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/11/24 12:19

混乱を避け、x についての「微分・積分」のハナシ、としましょう…。

>…例えばx^bを普通に積分すると、(1/(b+1))x^(b+1) ですよね？
>これを1/xでやると、1/x=x^-1だから、1/0・x^0=1/0・１となり”定義できない”ことになりますよね？
>＜質問の趣旨はここではないのですが、もし間違っているようでしたら訂正をお願いします。＞

「質問の趣旨はここではない」とはいえ、「定義できない」の一つの意味を示唆しており、一言あってしかるべきか…と。

数学は、ある問題 (命題) を一つの演算操作で解けないからといって、その (命題) が「定義できない」とはみなさぬようです。

「かたや定義できない道筋が」あっても、その「道筋」はその (命題) 解法として使えぬだけ…と判断し、別の解法を模索するのがふつう。
「結局のところ、これらの問題は”定義できない”のではないか」などと即断せず、他に「道筋」をさがすわけです。
この例でいえば、微分して 1/x になる関数を実際に示すことができ、(1/(b+1))x^(b+1) から外れた「道筋」を通らねば見つけ難い横町にあった、と反省することになります。

逆に、x^b (b≠-1) の積分が不可能にみえる「演算操作」を提示されたら、(1/(b+1))x^(b+1) を放棄して、x^b (b≠-1) は「定義できない」と即断しますか？
(そのような「演算操作」は存在しないのかも知れないのですけど…)

蛇足。
実関数の 1/x の原始関数は x≦0 にて「定義できない」。
複素関数に拡張すれば、「定義できない」のは x=0 だけ、となるようで。

　　

この回答へのお礼

なるほど複素数ですか！そういわれてみると虚数iなんてものは僕の言い分ではすべて定義できなくなりそうですね(笑)
失礼な言い方になってしまうかもしれませんが、納得したというよりも、そんなものかな、という気持ちになりました。確かに考えてみれば、負の数を習い始めたとき、僕の中で「定義」はできていないまま「理解」はしていたような気がします。

丁寧な回答をいただき、本当にありがとうございました。

お礼日時：2013/11/24 13:57

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/11/24 09:19

＞　屁理屈のオンパレードで申し訳ありませんが、

＞　理解していただけたでしょうか？

数学の専門家でない僕の方が何回も回答して申し訳ないです

僕が言いたかったのは、「定義」 というのは、

「この用語は、こういう意味で使う」 との宣言なので、
わかりやすいようシンプルに決めるのが良いですが、

「公式」 というのは 「公理」「定理」 などから、導き出したもの
なので、自分で勝手にわかりやすく、シンプルに決められません

僕は「地理」「歴史」 が苦手で、「こんなにたくさん覚えられる訳
がなかろう」 と敵前逃亡をしてましたが、「こんなにたくさん地名が
あったら覚えられないので、減らせ」「こんなに複雑な歴史は
覚えられないので、シンプルに書き直せ」 と言っても、事実が
そうなんだから、書き直せませんよね

数学の公式も同じです

この回答へのお礼

地理や歴史と同じ」なるほど。そうかもしれないですね。
歴史の中でたくさんの数学者たちが練りに練ってきたこの公式には、微分積分を勉強しはじめたばかりの僕には思いもよらない「何か」があるのかもしれないですね。ただ、僕はその公式の根幹にあるものに興味があります。そういうところも。数学のおもしろいところなのかもしれないですね。
重ね重ね、丁寧な回答をいただき、ありがとうございました。

お礼日時：2013/11/24 13:48

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/11/24 08:20

僕は数学を勉強してる身でないので、新明解国語辞典を

調べてみました

定義：　ある事物や用語の意味・内容を、こういうものであると、
　　　　はっきり説明すること。

公理： 〔数学で〕その理論体系の出発点として、
　　　　証明を要しないで真であると仮定した命題。
　　　平面幾何学における例、「二点を通る直線は
　　　一つ有り、しかも ただ一つに限る」。

定理： 〔数学で〕その公理系から出発して 真であることが
　　　　証明される命題のうちで、重要なものの称。
　　　　「ピタゴラスの―」

公式： 〔数学・物理学・化学などで〕
　　　　同種類の個個の問題を解くのに適用することの
　　　　出来る、一般的な法則を表わす

ですので、zackno23 さんのおっしゃてる問題は 「定義」 では
なく、「公式」 です

微分の公式も積分の公式も、「この場合はこの公式」 って
場合分けされてるので、
「同種類の」 ＝ 「その場合場合に応じた｝公式使わないと
ダメです

２人 奥さんがいて、夫が 「俺が死んだら、貯金、その他の
財産、分けられるものは平等に分けること」 と言ってるのに、

１軒しかない 家を のこぎりで真っ二つにしたら住めなくなるし、
子供１人しかいなくて、まっぷたつにしたら死んじゃうでしょ

この回答への補足

>微分の公式も積分の公式も、「この場合はこの公式」 って
場合分けされてるので「同種類の」 ＝ 「その場合場合に応じた｝公式使わないと
ダメです

うーん、確かにそうなんです。僕もこういう問題がテストで出たときは「m=-1の場合に応じた」公式を使います。ただそれは、公式でそうだと決められているから、それに従っているにすぎません。
私の質問のポイントはそこではなく、先の補足の通り「この場合は分母がゼロになって定義できないから＜しかたなく＞こうしなさい」となっている「公式」に対して、不満、というか疑問に思うんです。
「logXという自然対数を使えば、一応答え『らしきもの』はでるよ」という＜公式＞は存在しますが、それだからと言って「1/xの積分はlogXだ！」と言い切ってしまうのは、違うんじゃないか、ということです。
屁理屈のオンパレードで申し訳ありませんが、理解していただけたでしょうか？

補足日時：2013/11/24 09:02

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/11/24 07:31

＞　これを1/xでやると、

＞　1/x=x^-1だから、1/0・x^0=1/0・１となり
＞　”定義できない”ことになりますよね？
＞　＜質問の趣旨はここではないのですが、
＞　もし間違っているようでしたら訂正をお願いします。＞

n が -1 でない時にしか使えない公式を
-1 の時に使ったらダメだよ

「僕は男でなければ、誰でも良い」 と言ってるのに、
おかまが来たらダメでしょ

この回答への補足

>shuu01さん
言葉足らずで申し訳ありません。
確かにそうなんですが、それはつまり「n=-1の時は分母がゼロになってこの公式では定義できないから、この公式を使っちゃだめだよ」ってことですよね？
つまり私が言いたいのは、「この場合このやり方では定義できないからこっちでやりなさい」←「てことは結局定義できないんでしょ？」ということです。
つまり、「こうすると分母がゼロになってしまう」という事実がある以上、1/xの積分は「定義できている」とは言えず、さらに行ってみれば結局「定義できてない」んじゃないの？ということです。

よろしくお願いします

補足日時：2013/11/24 07:58