
こんにちは、このコーナーで以前に、非整数微分(半微分)のことを質問されているを見て興味を持ちました。
ちなみに、下記の式 y を、z で 半微分した 後、x で 半微分 したら計算結果はどのようになるのでしょうか?
y=E^((-I)*p*z + I*k*x)
追伸
(1)E^(k*x) をxでn微分した場合、k^n*E^(k*x) となるので、yを、半微分しても、ある係数 × E^((-I)*p*z + I*k*x) となるんでしょうね。
(2)y を、x で 半微分した 後、z で 半微分 しても計算結果は同じでしょうね。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
> 下記の式 y を、z で 半微分した 後、x で 半微分 したら
> 計算結果はどのようになるのでしょうか?
> y=E^((-I)*p*z + I*k*x)
y = f(z)g(x)
の形ですね.
半微分でも,定数は前へ出して良いですから,そりゃやっぱり
{∂^(1/2)∂^(1/2)y / ∂^(1/2)z ∂^(1/2)x}
={∂^(1/2)y / ∂^(1/2)z} {∂^(1/2)y / ∂^(1/2)z}
と思います.
性質の良い関数なら,半微分の順序によらないでしょう.
これで,本題の半分と追伸(2)はOKですね.
追伸(1)は重要です.
普通の微分なら,指数関数 e^x は微分しても変わりません.
e^(kx) なら D = d/dx を作用させたときに
(1) D e^x = e^x
ですから,e^x は微分演算子 D に対する固有関数になっていると言えます.
繰り返せば,kobe655 さんの言われるように
(2) D^n e^x = e^x
になります.
では,半微分 D^(1/2) に対しても(2)は成り立つのか?
結論から言うと,成り立ちません.
理由を探るには,Taylor 展開を見てみるとよいでしょう.
(3) e^x = 1 + x + (1/2!) x^2 + (1/3!) x^3 + ・・・
で,1回微分すると,
(3)の右辺第1項の1は消え,
x が1になり,
(1/2!) x^2 が x になり...
という具合で,項が1つずつずれて同じ無限級数を再現します.
さて,x^λ を半微分すると,
(4) D^(1/2) x^λ = {Γ(λ+1) / Γ(λ+1/2)} x^(λ-1/2)
となって,べき指数は 1/2 だけ下がります.
そうすると,(3)を半微分すれば
(5) x^(-1/2) の項 + x^(1/2) の項 + x^(3/2) の項 + ...
となり,これが e^x にならないのは明らかです.
つまり,(2)は n=1/2 に対しては(もっと一般には非整数の n に対しては)
成り立ちません.
そうすると,
(6) x^(-1/2) の項 + x^0 の項 + x^(1/2) の項 + x^1 の項 + ...
を作っておくと,D^(1/2) を作用させたときに
x^(-1/2) の項はゼロになり,
x^0 の項 は x^(-1/2) の項になり,
x^(1/2) の項 は x^0 の項になり,...
というわけで,うまく行きそうです.
もちろん,(4)を考えて,(6)の級数の各項の係数をうまく選んでおかないといけません.
こういう議論により,
(7) f(x) = (1/√π) x^(-1/2) + e^x erfc(-√x)
が半微分しても不変,すなわち
(8) D^(1/2) f(x) = f(x)
である性質を持つことが知られています.
erfc(z) は誤差関数の一種で
(9) erfc(z) = (2/√π) ∫{from x to ∞} e^(-t^2) dt
で定義されます.
http://mathworld.wolfram.com/Semiderivative.html
http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivativ …
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=807071
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=204022
この回答への補足
お返事ありがとうございます。
y を、z で 半微分した 後、x で 半微分 したら
計算結果は、下記で 良いでしょうか?
y=E^((-I)*p*z + I*k*x)
まず、
x^λ を半微分すると,
(4) D^(1/2) x^λ = {Γ(λ+1) / Γ(λ+1/2)} x^(λ-1/2)
となりますので、
D^(1/2) x^1 = 2/Sqrt[Pi] x^(1/2)
です。
同じように、D^(1/2) y^(1)の係数は、
2/Sqrt[Pi]* 2/Sqrt[Pi]* (-I)*p* I*k=(4*p*k)/Pi
です。
また、Eのべき数は、(1/2)になるので
E^((-I)*p*z^(1/2) + I*k*x^(1/2))
で、結局 答えは、
D^(1/2) y=(4*p*k)/Pi* E^((-I)*p*z^(1/2) + I*k*x^(1/2))
となる。と思います。如何でしょうか?
No.2
- 回答日時:
siegmund です.
補足,拝見しました.
本質は
(A1) D^(1/2) e^x = (係数) e^(√x)
になるか,いうことですよね.
そうはならないと思います.
e^x を Taylor 展開したものに D^(1/2) を作用させると,
各項のベキが 1/2 ずつ下がりますから,
(A2) D^(1/2) e^x
= {x^(-1/2) の項} + {x^(1/2) の項} + {x^(3/2) の項} + ・・・
となります.
x→0 としたときの値が e^(√x) とは違いますから,
(A1)にならないことは明らかでしょう.
(A2)の右辺で x^(-1/2) を前に出して
(A3) {x^(-1/2)} × [定数 + {x の項} + {x^2 の項} + ・・・]
とすれば x^(-1/2) e^x にならないかということも考えられますが,
[ ] 内の各項の係数をみるとそうはならないようです.
なお,
(A4) D^(1/2) e^x = 1/√(πx) + e^x efc(√x)
であることが知られています.
ここで
(A5) erf(z) = (2/√π) ∫{from 0 to x} e^(-t^2) dt
です.
(A4)にもう一度 D^(1/2) を作用させると e^x になります.
このパラグラフは
K. B. Oldham and J. Spanier: The Fractional Calculus
(Academic Press, New York, 1974)
を参照しました.
ただし,
http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivativ …
にも書いてありますように,一般には
(A6) D^μ D^ν ≠ D^(μ+ν)
です.
お返事ありがとうございます。
何回も、同じ質問をして申し訳ございませんでした。
結論として、D^(1/2) e^x が、(係数)e^x や (係数)e^(√x) にならず、複雑な答えになることがわかりました。
私にとって、半微分が、あまり利用価値が無いことも、はっきりしました。ありがとうございました。
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