数学 ∑(１からnまで)１/ｋ2乗が2未満の証明

∑(１からnまで)　１/ｋ2乗　＜　２
を証明したいのですが、この形のシグマは計算できませんし、
評価しようと思ってもうまくいきませんでした。
　
1/1＋1/4＋1/9＋1/16・・・ですから2には満たないのは感覚的にはわかるんですが、
証明はかけません。

どなたか解説お願いします。

ちなみに、この問題は数Bの問題集にのっていたやつです。
もしかしたら、数３を使わないと解けないかもしれませんが、
できるだけ使わないやり方でご解説お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2014/04/15 21:56

積分を学ばれていれば、y=1/x^2 のグラフを考え、

1からnまでの定積分を求めてみるのもわかりやすいかもしれません。

下のグラフから明らかなように、

Σ[k=1 to n]1/k^2<1+∫[1 to n]1/x^2dx=1+【-1/x】[n 1]=2-(1/n)<2

P(1,1)、Q(2,1/4)、R(3,1/9)、S(4,1/16)はy=1/x^2　上の点です。

No.4 回答者： staratras 回答日時： 2014/04/16 21:27

No.3です。

少し補足(蛇足？）を書かせてください。

ご質問は「2未満であることを示せ」という問題なので、第1項だけ計算して1とし、第2項以降第n項までは1からnまでの定積分未満の値であることを利用しましたが、グラフをよく見るとxが小さいほどy=1/x^2のグラフと求めたい部分との間の面積(水色の部分)が大きいことがわかります。

これはつまり、上の「2」はぎりぎりの数値ではなくて余裕があり、さらに下げられる可能性があることを示しています。具体的には、S=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+1/49+1/64+1/81+1/100…について、第1項だけでなくもっと先の数項までの和を計算した上で、その次の項から第n項までについてだけ積分の計算をすれば2よりもさらに下げることができるのではないかと考えることができます。

例えば第5項(1/25）までの和を求めると5269/3600です。y=1/x^2 について5からnまでの定積分の値は1/5-1/nで、Sはこの両者の和(5989/3600)-1/n未満なので、

5989/3600≒1.6636…未満となります。

さらに第10項(1/100)までの和を求めて同様に計算するとSは

2095337/1270080≒1.64976…未満となります。

（実はn→∞のときSは(π^2)/6となることが知られていて、この値は約1.644934…です。）

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2014/04/14 23:16

1/n(n-1) > 1/n^2

です。（不等号が逆でした）

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2014/04/14 23:15

n≧2について、

1/(n-1) - 1/n = 1/n(n-1) < 1/n^2

という関係を使います。
左辺を2から無限まで和を取ると、どんどん消しあうので１に収束します。
技巧的ですが、まあ、よくあるやり方です。そういうもんだと思って（やり方を）覚えてください。