数学（ほぼ統計）について、教えてください！

二度目の質問になります。前回は経済の数式についての質問に完璧な回答をいただき、大変助かりました。


数学を大人になるまでまったくやってこなかったため、根本の部分からわからないことが多々あります。

質問は以下になります。
f(x)や、E[x]など、括弧の意味がわかりません。。。

例えば、
統計学
E[X]=期待値


E[x]が期待値、V(X)が分散、知っていれば問題は解けますが、

E[aX+b]=aE[X]+b
V(X)=E[X^2]-μ^2
こうなると、まずE[　]が何かわかりません・・・

質問が定まっていませんが、少しでもアドバイスできる方いれば、
回答をいただきたいです。よろしくお願いします。

No.2 回答者： fluidicB 回答日時： 2014/04/28 16:11

かっこの意味ですよね。

よくある関数f(x)は丸括弧()を使うのに、確率や統計で見かける期待値は角括弧[]を使っている。

よくある関数では変数xに対して何かの値yに対応する関係をたとえばfという文字で表して、y = f(x) と表記し始めました。これはf以外の文字を使ってもよくて、fの次という意味でg(x)もよく使われますし、uとvの組も頻出です。となればそもそも最初のをy(x)と書いていいんじゃないか、ってことで、これも許容されます。敢えてxを強調する必要がなければyなのですが、その条件としてxを書きたいときに丸括弧をつけて書いているよ、くらいの意味です。そして、その括弧の中身は特定の値をとることがあります。秒速２ｍで動いている物体のx秒後の移動距離y [m]はy = 2xだというような関係をuと呼んで、u(x)=2xと書いたりy=u(x)だったり。そしてu(3)という値が存在できて、u(3)=6です。

一方、確率変数が定まればその期待値も決まる。その関係をEという文字で表してE(x)なのではないか、と思うかもしれませんが、違います。何となく近いので近い表記をしていますが、違うのでまず括弧の形を変えておこう、ってノリがあります。
まず確率変数は大文字が割り振られます。通常Xがよく使われますがYでもZでもそれ以外の文字でもＯＫです。よくある関数の変数とは違って、特定の値になるかもしれないことに確率が付随したままになっています。たとえば確率変数Xに（理想的な）サイコロを１回振ったときの目の値を対応させるとします。出た目の倍の枚数のレアカードが貰えるとしましょう。確率変数Yを、この貰える枚数の数字そのものに対応させるとしましょう。X = 3を議論することはできます。このときY = 6ですし、Y = 2Xです。ところがE[X]もE[Y]も議論することはできますが、E[3]やE[X=3]という値はありません。
落ち着いて数式のしてのE[X]の定義式をご覧いただければわかると思いますが、f(X)と書けるような定義式にはなっていません。Xがとりうるすべての値について計算する式ですので、Xが特定の値xをとるとき、たとえばサイコロの目が3のときの期待値、とかいうものがありえません。「確率変数が定まれば期待値も...」という言い方をしましたが、ここで定まるのは確率変数の値毎の確率が定まれば、という意味です。関数で言うxが決まるとyが決まる、というような意味で期待値が定まっていませんよね。
なのでこれは関数じゃない。だからちょっと書式を変えておくべきだ。だから角括弧にしよう。ついでにそもそも期待値(Expectation value)のEなのだから、Eと書くけど、これは必ずE。関数がfunctionのfからきているけどgと書いても構わないのとは別レベル。
どうこう言わず、平均値mean valueとしてmや、mに対応するギリシア文字のμという１文字表記でいいんじゃないの、という立場もあります。
ただ、Xの期待値から、Yの期待値を引っ張り出すような議論をするとき、E[2X]という書式があり得た方が、なんか便利、ってことで、期待値をE[確率変数（あるいはそれを組み合わせた式）]という書式で落ち着いています。

このことは分散V[X]や共分散Cov[X, Y]についても同様に書いていこう、ってことにしている人たちも多いですが、期待値E[X]ほどの強い支持は受けてないみたいで、本によってまちまち。
そもそもざっくりいえば関数みたいなものなのだからE(X), V(X), Cov(X, Y)でいいんじゃないの、って立場をとる人もいます。大学の確率の現行教科書でE(X)っていう丸括弧を採用している日本の出版社もありますよ。

質問にある
V(X)=E[X^2]-μ^2
というのだけをみると丸括弧なのか、角括弧なのか。E[]派なのかμ派なのかごちゃまぜ過ぎて、わざわざ混乱するような表記法ですよね。
Eとμの使い分けはおそらく平均は平均で平均値でしかないからμなのだけど、期待値は何とかの期待値、といういろんな式を対象として取り得る、みたいな立場からの使い分けなんでしょう。Vだけが丸括弧なのはなぜでしょうね。わかりません。

質問者さまがもし学生さんとかでしたら、指定教科書に表現を合わせてくださいというところです。でもむしろ実務側で、本によって、あるいはページによって書き方がなんか違う、これは裏があるのか、ってことですよね。詳しくないけど歴史的経緯とかいろいろあってのことのようです。複数の書式が乱立しているってことと、本質的に書き分けたい意味もあるって２点を踏まえながら読み進めてください。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/04/25 23:21

Xはデータセットで各データ（要素）をx(i)(i=1~n)とすると

X∊x(i)(i=1,n)

という形で表します。

Xの期待値とは要するに平均値、足して個数で割ればよい

E[X]=[Σ(i=1,n)x(i)]/n=μ

です。

各要素をaX+b(a,bは定数)に従って線形変換して作ったデータセットをYとすると

Y∊y(i)(i=1,n)=ax(i)+b(i=1,n)

すなわち

Y=aX+b

であって、その期待値、すなわち平均値は

E(Y)=[Σ(i=1,n)y(i)]/n=[Σ(i=1,n){ax(i)+b}]/n=a[Σ(i=1,n)x(i)]/n+nb/n=aE(X)+b

Xの分散V(X)は平均値からのずれの2乗の平均であって次式で定義されます。

V(X)=[Σ(i=1,n){x(i)-μ}^2]/n

{ }の中を展開して整理します。

V(X)=[Σ(i=1,n){x(i)-μ}^2]/n＝[Σ(i=1,n){x(i)^2-2μx(i)+μ^2}]/n

＝[Σ(i=1,n){x(i)^2}/n-2μ[Σ(i=1,n)x(i)/n]+nμ^2/n

第１項はx(i)^2の期待値の式になっているのでE(X^2)で表すことにします。

第２項の[ ]の中はx(i)の期待値の式になっています。

従って

V(X)=E(X^2)-2μ^2+μ^2=E(X^2)-μ^2



以上の話は統計学の本に必ず書いてあります。解らなくなったら最初のページに戻って確認してください。