三平方の定理を用いた三角形の外接円の半径（その1）

中学生の息子の問題です。「△ＡＢＣで角Ｂ＝６０°、ＡＣ＝８√２の外接円の半径を求めよ」といった問題です。類似した問題に対する回答がありましたが、数学は不得手で理解できませんでした。
昨夜は夢にまで問題が出る始末です。ご回答を宜しくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/07/22 10:16

＞昨夜は夢にまで問題が出る始末です。

　良い事です。
　しかし、とにかく図を描いてみること!!　キーワードは「６０度」です。
　４５度，３０度，６０度，９０度は三角形、直角三角形、二等辺三角形の鍵となる角度でしたね。
　直角三角形の他の角が45°の場合、三平方の定理でそれぞれの辺の比は1:1:√2
　直角三角形の他の角が30°(ないし60°)の場合、三平方の定理でそれぞれの辺の比は1:
:√3:2

　図を描いて、一辺BCの長さは固定したまま頂点Aを外接円上のBCと反対側を移動しても、（円周角は一定ですから）60°のままです。そして辺ACまたは辺ABが外接円の中心を通るときに着目すると、∠ABC、∠ACBは円の中心を通る線分の円周角となる点が二箇所あります。

・図を描くときは、できるだけ極端な図を描くこと
・今迄習った記憶のある数字や角度がないか？

　添付図を見れば、すぐ分かると思います。

　文章を読んで場面を想定すること・・・これは数学・算数と言うより国語の力が試されているのです。漫画や映画では、監督のイメージが与えられてしまいますから、文章や会話から、場面を考える必要はありません。そのため、文章や会話から、本質を組み立てる能力は育ちません。
　せっかくの夏休み、絵のない小説をたくさん読んで、その能力を身につけましょう。

　こうして絵を書いてもらっても、身に付かない。
　

この回答へのお礼

初めてこのOK Waveを利用しました。
数学の設問への取り組み方をもご教示いただき、感謝申し上げます。ありがとうございました。

お礼日時：2014/07/22 16:53

No.3 回答者： opiok 回答日時： 2014/07/22 10:10

ANo.2の訂正です。

4行目の「△AOHと△COHにおいて」を「△OAHと△OCHにおいて」に訂正致します。

この回答へのお礼

承知いたしました。

お礼日時：2014/07/22 16:51

No.2 回答者： opiok 回答日時： 2014/07/22 09:43

外接円の中心を点Oとすると、∠Bは弧ACに対する円周角であることから、その中心角である∠AOCは円周角の2倍で120°になります。

点Oから辺AC上に垂線を下してその足をHとします。
△AOHと△COHにおいて、OA=OC(外接円の半径)、OHは共通で∠OHA=∠OHC=90°なので、三平方の定理によって残りの一辺の長さも等しくなりAH=CH=4√2(8√2の2分の1）になります。
よって、△OAHと△OCHは、3辺の長さがそれぞれ等しくなって合同になります。
合同なので対応する角の大きさは等しく、∠AOH＝∠COH=60°(120°の2分の1）になります。
これで、△OAHについて、∠OHA=90°、AH=4√2、∠AOH＝60°であることが決まり、当然に∠OAH＝30°です。
辺の比はOA：AH：HO=2：√3：1になるので、外接円の半径は次のようになります。
OA=AH×2/√3=4√2×2/√3=8√6/3

この回答へのお礼

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早速対応をいただき感謝申し上げます。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/07/22 16:51

No.1 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2014/07/22 05:11

Bの点を△ABCの外接円の円周上のどこにとっても、∠B=60°のままです。

なので、
BCが円の中心を通るようにすると、つまりBC=2Rにすると、
∠A=90°となります。Rは外接円の半径。
円周角の定理から、こうなります。

これで、
∠A=90°、∠B=60°、∠C=30°の直角三角形ができました。
このときの辺の比は、
AC/BC =　AC/(2R) = (√3)/2　　　　　（この辺の比は、中学校で習います）
R = AC/√3 = 8√2/√3 = 8√(2/3)


高校に進学しますと、
正弦定理というものを習いまして、
AC/sinB = 2R
これから、
R = AC/(2sin60°) = 8√2/(2×√3/2) = 8√(2/3)
と求めることができます。
sin60° = √3/2


正弦定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%BC%A6% …

円周角の定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8% …

この回答へのお礼

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ありがとうございました。

お礼日時：2014/07/22 16:48