高校数学、立体図形

高校数学、立体図形（本日投稿した問の別解について）
図のように、（赤文字で４角錐と書かれています)正４角錐があり、OA=OB=OC=OD=６、AB=BC=CD=DA=4である。

この正４角錐の全ての辺に接する球があるとき、その半径を求めよ。という問題。
（問題集の解答２）
辺AD,BCの中点をそれぞれ、M、Nとする。面OADによる球の切り口（図２）は三角形OADの内接円（中心をQ半径をaとする）であるから、OQ対QM=DO対DM=３対１．
よって、a=OM×１／４＝√２．
面OMNによる切り口は図３のようになる（Pは球の中心、Hは底面ABCDの対角線の交点）。
ここで、三角形OPQ∽三角形OMHより、PQ=OQ×MH／OH=３√２／√７(4)
この時、三角形PQMにおいて、ｒ＝√（√２）＾２＋(4)＾２）＝４√１４／７
（疑問）
(1)面ODAで切った図（図２）について、Qは三角形ODAの内接円の中心ですが、これはどうして球の中心Pとは一致しないのでしょうか？
（他の問題で、ある面で切った時に出たでてきた内接円の中心がそのまま球の中心だったのがありました、なぜ違いが生じるのかと思いました）
(2)面OMN による切り口について、ここにはなぜ円が現れないのでしょうか？
（初心者なので、変な事を言っていたらごめんなさい）
この図はどのように考えてかいているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： shintaro-2 回答日時： 2014/08/01 14:49

>(1)面ODAで切った図（図２）について、Qは三角形ODAの内接円の中心ですが、これはどうして球の中心Pとは一致しないのでしょうか？

球の中心は、三角形ODA面にはありません。
あくまでも、斜め上から見ていることになります。

そうすると、球の下部は辺DA上にないことは明らかです。
球が四角錘の内部に収まるのであれば、球の下部がDAよりは上（三角形の内部）にあります。

アドバイス
問題文や図を正確に描きましょう

>この正４角錐の全ての辺に接する球があるとき、

四角錐の「辺」ですか「面」ですか？
　面だとすれば、三角形OMNから球ははみ出しますので、絶対に三角形OMN内に円は現れません。

また「辺」だとすれば四角錘の底面から球がはみ出ますから、各三角形から円がはみ出します。


図１の左側の図　
　斜視図を描いたつもりでしょうけれど、点Cはもっと左側に入るはずです。

正確な図を描かないと、図形の相似も判断しにくくなります。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2014/08/02 08:13