√２のテイラー展開？

　定年退職後に大学に行って数学を学んでおります。
テイラーの展開がどうもよく分かりません。
　例えば√２はどのように計算すれば１．４１４２１３５６になるのでしょうか？
　どなたか分かりやすく教えてください。

No.8 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/06 17:48

f(x)=x^(1/2) で x=1.96=1.4^2 で展開するとかなり収束が早いです。

f'(x)= (1/2)x^(-1/2)
f''(x) = (-1/4)x~(-3/2)
f('''(x) = (3/8)x(-5/2)

x^(-5/2)とかは 1/(x^2√(x)) などとすれば計算できるので (√(x)=1.4)

３次まで計算すると

f'(1.96) = 0.357142857
f''(1.96) = -0.091107871
f'''(1.96) = 0.069725412

f(1.96) + (1/1!)f'(1.96)(2-1.96) + (1/2!)f''(1.96)(2-1.96)^2 + (1/3!)f'''(1.96)(2-1.96)^3
=1.1414213572

もうちょいですね(^^;

この回答へのお礼

　３次まで計算するとかなり近い数字になりますね。
１．４１で計算するとほぼ完全になるのでしょうね。本当に素晴らしい計算だと思います。
頑張って練習します。

お礼日時：2014/08/09 09:12

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/06 18:47

>f'(x)= (1/2)x^(-1/2)

>f''(x) = (-1/4)x~(-3/2)
>f('''(x) = (3/8)x(-5/2)

修正

f'(x)= (1/2)x^(-1/2)
f''(x) = (-1/4)x^(-3/2)
f('''(x) = (3/8)x^(-5/2)

この回答へのお礼

　回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/08/09 09:13

No.7 回答者： opiok 回答日時： 2014/08/06 06:28

テイラー展開ではありませんが、ANo.1の方が示されたルートの開き方を十分ご理解頂けたのであれば、追加することは何もありませんが、もう少し分かりやすい例で示すこともできます。

この回答へのお礼

　回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/08/09 09:08

No.6 回答者： transcendental 回答日時： 2014/08/05 21:52

（１－ｘ）＾（１/２）＝１－（１/２）ｘ－（１/８）ｘ＾２－（１/１６）ｘ＾３－（５/１２８）ｘ＾４－・・・、を利用する方法の中で、ｘ＝１/９８０１とすると、

（９９/７０）・√（１－１/９８０１）＝√２．
により、√２の値を望むところまで正確に計算できます。
ｘ＾３＝１．０６２１５７２８６×１０＾（－１２）ですから、ここまでで小数第１２位までは計算できます。

この回答へのお礼

　回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/08/09 09:07

No.5 回答者： f272 回答日時： 2014/08/05 21:45

f(x)=(1+x)^(1/2)

と考えると，テイラー展開は
f(x)=f(0)+f'(0)/1*x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/6*x^3+f''''(0)/24*x^4+...
=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(3/48)x^3-(15/384)x^4+...

ここで
√2
=(1/10)√(200)
=(1/10)√(196+4)
=(14/10)√(1+4/196)
=(7/5)√(1+1/49)
と変形してやれば
=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-(1/8)*(1/49)^2+(3/48)*(1/49)^3-(15/384)*(1/49)^4+...)
となって，4次の項で打ち切っても
=1.41421356224
となります。誤差は-1.33479E-10程度ですね。

ちなみに
1.41428571429...=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-...)
1.41421282799...=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-(1/8)*(1/49)^2+...)
1.41421357173...=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-(1/8)*(1/49)^2+(3/48)*(1/49)^3-...)
1.41421356224...=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-(1/8)*(1/49)^2+(3/48)*(1/49)^3-(15/384)*(1/49)^4+...)
1.41421356237...=√2
です。

この回答へのお礼

　回答ありがとうございます。
　大学は今夏休みです。夏休み中にしっかり復習して後期に望みたいと思います。

お礼日時：2014/08/09 09:05

No.4 回答者： info222_ 回答日時： 2014/08/05 18:12

f(x)=√(1+x) とおけば f(1)=√2

これを利用してf(x)をマクローリン展開(x=0のまわりのテイラー展開)して
f(x)=1+x/2-x^2/8+x^3/16-(5x^4)/128+(7x^5)/256+...
x=1とおくと
f(1)=√2=1+(1/2)-(1/8)+(1/16)-(5/128)+(7/256)+...
この式を使って近似計算できますが収束が悪く、近似計算式としては向いていません。

収束の速い計算式は、
f(x)=x^2-2とおいて
ニュートン法(参考URL)
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/ニュートン法
ttp://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html
にある漸化式
　x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f"(x[n]) …(1)
あるいは
　x[n+1]=x[n]-{(x[n])^2-2}/(2x[n])
で初期値 x[0]=1 , 計算精誤差εとして
　|(x[i+1]-x[i])/x[i] |<ε
を満たすi=n　まで計算すればいいでしょう。
この計算法は収束が早いのでおすすめです。
　x[0]=1,ε=10^-8として計算すると
　x[1]=1.5
　x[2]=1.4166666667
　x[3]=1.41421568627451
　x[4]=1.41421356237469
　x[5]=1.414213562373095
　x[6]=1.414213562373095
　i=n=5

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/ニュートン法

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ニュートン法やマクローリン関数などもあるのですね、数学は奥が深いです。

お礼日時：2014/08/07 16:47

No.3 回答者： tadopika 回答日時： 2014/08/05 17:06

例えば、f(x)=√(x+1) をテイラー級数で表し、x=1 とすると、f(1)=√2 が無限級数として表されます。

f(x)=f(0)+f'(0)/1*x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/6*x^3+f''''(0)/24*x^4+...
f(1)=√2=1+1/2-1/8+1/16-5/128+7/256-21/1024+...
となります。

又、f(x)=1/√(x+1) で x=-1/2 としても√2のテイラー展開が得られます。この場合は、
f(-1/2)=√2=1+1/4+3/32+5/128+35/2048+63/8192+...
と表されます。

何れも、収束がそれ程速くありませんので、小数点以下5桁まで正しく計算するだけでも、かなり大変です。私は思いつきませんが、もっと収束の速い関数が他にあるかも知れません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
　大学の教授はテイラー展開は収束は早くはないが簡単な論理で無理数が見つけられると話しておりました。しかも誤差まで論的に出すことが出来ると。しかし難しくて分かりません。

お礼日時：2014/08/07 16:45

No.2 回答者： hashioogi 回答日時： 2014/08/05 15:57

手持ちの数学公式集に

(1+x)^(1/2)
のテイラー展開の結果として
1+(1/2)x-(1/2・4)x^2+(1・3/2・4・6)x^3-(1・3・5/2・4・6・8)x^4+(1・3・5・7/2・4・6・8・10)x^5-…
但し(-1<x≦1)
というのがあります。
これにx=1を代入すればよいと思います。

この回答へのお礼

　回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/08/07 16:41

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/08/05 15:06

＞ルートの開き方で検索すれば、手計算の方法のサイトがいくつもあります。

例えば
http://www.kinomise.com/sokuryo/sokgaku/heihou.h …
等々

この回答へのお礼

　回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/08/05 19:25