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No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
(1)共通接線は
y=x-2
(2)面積は
16/3
です。
解答
(1)共通接線
y=x^2-5x+7 (1)
y=x^2+3x-1=0 (2)
共通接線が(1)と接する点を(a,b),(2)と接する点を(p,q)とすると
接線の傾きは(1)はy'=2x-5=(2a-5),(2)はy'=2x+3=2p+3
また、b=a^2-5a+7, q=p^2+3p-1
よって(1)に基づく接線は
y-b=(2a-5)(x-a)
y=(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+7=(2a-5)x-a^2+7 (3)
(2)に基づく接線は
y-q=(2p+3)(x-p)
y=(2p+3)x-2p^2-3p+p^2+3p-1=(2p+3)x-p^2-1 (4)
(3),(4)が一致するために
2a-5=2p+3
p-a=-4 (5)
-a^2+7=-p^2-1
p^2-a^2=-8 (6)
(5),(6)を連立してといて
p=-1,a=3
共通接線は
y=x-2
(2)2放物線と共通接線で囲む面積S
2放物線の交点は(1,3)
S=∫(-1,1)[x^2+3x-1-(x-2)]dx+∫(1,3)[x^2-5x+7-(x-2)]dx
=∫(-1,1)[x^2+2x+1]dx+∫(1,3)[x^2-6x+9]dx
=∫(-1,1)[(x+1)^2]dx+∫(1,3)[(x-3)^2]dx
=[(x+1)^3/3](-1,1)+[(x-3)^3/3](1,3)
=16/3
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