No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>logは真数になるために底をa乗したときのaであると理解していたのですが・・・・
そうです、では、それに従って考えましょうか。
logxの底はeですね。
rockman9さんの言葉から発展させていきます。
真数xになるために底eをa乗したときのaがlogX・・・(*)
この(*)を数式で言い表してください。すると、こうなります。
まず「真数xになるために底eをa乗したとき」とは、
真数x=e^a・・・(**)
ということですね。そのaがlogxなんですから、a=logxを(**)に代入すれば、
x=e^logx
で、問題の公式になりましたね。
つまり、rockman9さんはご自分で答えを言いながら、その意味を認識していなかっただけですので、理解できていないのではなくて、理解しているご自分を認識していなかっただけです(笑)
問題の公式e^logx=xは、公式というか、eの定義式だと思ってもよいと思います。
この公式の理解の仕方として、他に2通り([1]と[2])示します。
[1]等式e^logx=xが成り立つことを示せという証明問題の立場で・・・
左辺-右辺=0 を示すことは、
log(左辺)-log(右辺)=0・・・・(※)
を示すことと同値である(∵logxは単調増加関数)から、(※)が成り立つことを示す。
log(左辺)-log(右辺)=log(e^logx)-logx
=logx-logx (∵log(e^b)=b 対数の基本的性質)
=0
従って、(※)が成り立ったので、等式e^logx=xも成り立つ
[2]逆演算の性質から
ある関数fがあって、
y=f(X)のとき、X=g(y)・・・・(※※)
であるような関数gを、fの逆関数という。
f(x)=e^xとすると、その逆関数gは、g(x)=logxである。
なぜなら、y=e^xのとき、x=logyが成り立つからである。
fとその逆関数gは、(※※)より次の性質を満たす。
f(g(x))=x
f(x)=e^xについて、この式を書くと、
f(g(x))=f(logx)=e^logx=x
問題としていた公式e^logx=xは、逆関数が満たす性質(※※)に他ならないということです。
この回答へのお礼
お礼日時:2004/06/02 22:01
おっしゃる通りです...自分で答えを言っててそれに気づかないとはまだまだ未熟です。
逆関数についても少し知識がついたのでよかったです!どうもありがとうございます!
No.5
- 回答日時:
ご質問にある log は、自然対数(底が e)であると解釈して説明します。
そうでないと e^logX=X は成立しません。もし常用対数(底が 10)でお考えでしたら、理解が混乱しても無理はないと思います。(失礼がありましたらお許し下さい。)◆次のように理解なさってはいかがでしょうか。分かり易くするため、常用対数の世界で考えます。
◆今、X=1000 とします。そうすると、logX=log1000=3 となります。
◆これをご質問の式の左辺にあてはめると、底が 10 で考えていますから、e に相当するのは 10 であることから、10^logX=10^log1000=10^3=1000=X となります。
◆すなわち 10^logX=X になります。
◆このことは、底が e である自然対数でもおなじです。
別の考え方もあります。
●ご質問の式の両辺の自然対数を取ります。
●そうすると 左辺:logX x log(e) 右辺:logX ただし、真ん中の x は掛け算記号です。
●自然対数ですから log(e)=1 すなわち 左辺=右辺
●つまり e^logX=X
これでいかがでしょうか。お役に立てば幸いです。
No.3
- 回答日時:
蛇足ながら。
。。eを底とする対数を自然対数と呼んでいます。10を底とする対数は常用対数と呼ばれます。さて、底を[]で表すと
log[e]A=B (1)
という関係は
e^B=A (2)
となります(←対数の定義)
問題のe^logx=xの式(logの底はe)が成立するのかどうかをチェックしましょう。この式を(2)に当てはめると
B=log[e]x、A=x (3)
となりますね。これは(1)に戻ると
log[e]x=log[e]x
とおなって、確かに(2)が成り立っていることが解ります。
No.2
- 回答日時:
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