複素関数（初学者、独学中）

（問題）
複素関数w=1/zにより、x=k(k=0,±1/2,±1,±2)はw平面上のどのような図形に写されるか、調べて図示せよ。ｚに共役な複素数を（ｚ）*と書きます。

初学者なので、頓珍漢な質問をしていたらごめんなさい。
（解答）
ｚ平面およびw平面は拡張された複素平面と考える。
ここで、z=x+yi(x,yは実数）とおくと、x={z+(z)*}/2より、x=k(k=0,±1/2,±1,±2)はｋ={z+(z)*}/2すなわちz+(z)*=2k(k=0,±1/2,±1,±2)(1)と表される。
（ア）k=0のとき、(1)はz+(z)*=0(1)´。複素関数w=1/zより、z=1/w(2)
(2)を(1)´に代入して、1/w+1/w*=0
（解答続く）
（疑問）
(2)の部分についてですが、
w=1/z、z=1/wの分母のz,wがそれぞれ０になる場合については高校数学の軌跡では別に議論しなくてはなりませんでしたが、複素数ではｚ、ｗが０になる場合それぞれｗ、ｚは無限遠点となるので、解答では触れられていません。★図示の部分ではｚ＝０のときのｗ平面の写像は無限遠点に、ｚ＝無限遠点のときのｗ平面の写像は０にそれぞれ写っています。
高校数学の時の癖で、分母が０の時の議論には注意しようとしてしまい、いちいち★のようにそれぞれの点の移り変わりを意識してしまうのですが、とくに気にせず式変形をして得られた軌跡を図示すればよいのでしょうか？（皆さんは★のようなことを意識するのでしょうか?）

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2014/11/28 01:07

　（ご質問には明示されていないが、おそらく）その「（解答）」が書いてある本の文脈では、複素数全体の集合Cに無限遠点(∞と書くことにします）を付け加えたもの C∪{∞} の上で定義された写像を考えてるんですよ。

（複素数だからというわけではなくて、実数だって無限遠点を付け加えることはできます。）

　で、ご質問の場合、写像 f(z) = 1/z ってのは省略した書き方であって、正確には
　　z=∞のとき、f(z) = 0
　　z=0のとき、f(z) = ∞
　　それ以外のとき、f(z) = 1/z　（右辺は普通の複素数の割り算）
と定義されているに違いないっすね。
　この定義があらばこそ、任意のw∈C∪{∞}と任意の∈zC∪{∞}について「w=1/zより、z=1/w」という式変形（ここに出てくる「1/z」と「 1/w」は、もちろん上記の意味での「省略した書き方」にほかなりません。省略なしにきちんと言えば、「w=f(z)ならばz=f(w)」という推論）ができるんです。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/11/23 17:54

複素関数w=1/zにより、x=k(k=0,±1/2,±1,±2)はw平面上のどのような図形に写されるか、調べて図示せよ。

z平面の点Z=x+iyとしてx=k(k=0,±1/2,±1,±2),y=0すなわち

z=kでよいのですか。そうなら

w=1/z=1/k=u+iv

すなわち

u=1/k, v=0

従ってk=0を除いて

w平面の実軸上のu=±2,±1,±1/2に写像されます。

k=0の場合はw平面の無限遠点に写像されます。

この回答への補足

解答有難うございます。
ｙ＝０ではなく、ｙは任意の実数をとります。

補足日時：2014/11/23 18:04