三角関数の定積分

ある問題の回答で、サインのN乗のゼロから二分のパイまでの積分と、コサインN乗の同じ範囲の積分は等しい、ということが説明抜きに書いてありました。これは自明のことなのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/01/14 11:23

自明といってよいでしょう。

sin(x)とcos(x)は[0,π/2]においてx=π/4に対して対称です。これはN乗しても同じです。
ですのでsin^N(x),cos^N(x)とx軸、x=0とx=π/2で囲まれたグラフはx=π/4に対して対称ですので面積も等しい。

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/01/15 09:36

#5のものです。

>対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

それでよい。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/01/15 00:04

「単なるsin^n(x)は置換積分できない」というなら別の置き換え方を考えればいい.

積分した値が必要なわけじゃないんだから.

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/01/14 17:16

#2のものです。

#3の方へ。
＞面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って

n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。

違う、違う。
N乗したものの積分は、N乗したもののグラフがつくる面積ですよね。
N乗したものグラフの面積が等しい=N乗したものの積分の値が等しい
ということです。sin(x)とcos(x)のグラフがつくる面積が等しい、ということから議論しているわけではありません。

sin(x)とcos(x)のグラフはx=π/4を中心に対象です。これはN乗したグラフでも同じです。
だからN乗したグラフでも[0,π/2]の部分の面積は等しいよね、ということなのです。

この回答への補足

対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

補足日時：2015/01/14 19:09

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/01/14 12:05

置換積分すれば容易にわかる.

この回答への補足

sin^n(x)cos(x)という形であれば置換積分できるが、単なるsin^n(x)は置換積分できない、という文脈での問題なのですが・・・・・

補足日時：2015/01/14 19:13

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/14 11:46

#1さん、＃2さん、

私も皆さんと同じように考えていたのですが

面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って

n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。

No.1 回答者： Hutson 回答日時： 2015/01/14 10:57

cosとsinのグラフを　０　から　π/2 まで書いてみてください。

そうすると　cos と　sin は面積は全く等しいですよね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/01/14 19:33