なぜ物理学系の式は、掛け算と割り算ばかりなのか

タイトルの問いに答えられる方いらっしゃいますでしょうか。

＋－や微分積分も使われている！とかいう回答ではなくて、なぜ概念的にそのような掛け算と割り算（分数？）が多用される傾向にあるのか、というような哲学的な答えです。

というよりも、化学でも生物学でも同様の傾向が見られます。なぜ足し算と引き算が優勢ではなくて、基本的に掛け算と割り算が多いのでしょうか。

これって、掛け算や割り算が、現象を表現するのに最も都合が良いという事を示しているのでしょうか（というよりもある現象と現象をくっつけて表現させる力があるのか？）。

あと物理学においての二乗や三乗とかいうのも気になります。いったいある現象を二乗したことによって、現象がどのように変化することとなるのか・・・。

そして一番やっかいなのが、なんで熱力学でも個体物理学でも電気力学であっても、掛け算と割り算で現象概念が整理、説明が出来てしまうのかです。

添付画像にもありますが、アインシュタインの相対性理論の式だって、結局掛け算が使用されています。

なぜこのような事態が起きるのでしょうか。

いくら「観測した結果、このような式で間違いがありません」といった所で、明らかにこれらの傾向はおかしすぎると思います。

一体数学者や数式を作ってきた天才たちは、掛け算と割り算をどのような思想で捉えてきているのでしょうか？。

どなたか教えてください！。夜も眠れません！。

No.10 回答者： Glory_777 回答日時： 2015/03/22 14:27

可能性を示唆するためです。

私たちが現実世界で取り組む内容は経験則から認知できます。

数式と言うのは、”＝”で結ばれた瞬間、左も右も同じです。

と言う事は、

別に式を組み替えて表現しても、現実が変わるわけではなく、何も起こらないんです。

単なるパズルゲームですよね。

ですが経験則により、

感覚的によって、

「何かをしたら何かが起きる」

と言う現象のつながりはが沢山あることを私たちは知っています。

しかし、

「どのくらいしたら？　どうなるの？」

と言う把握はかなり難しいです。

そのため、左には興味がある結果を数値化したもの。

右には、自分が制御できる何かを数値化したもので表現します。

それ以外は役に立ちません。

また、自分が制御できないものが潜んでいれば、等式はなりたちません。

ですので知っている関係を並べておいて、

これを組み替えてみたとき、

左と右が一致しなければ、自分の知らない何かがあることを示唆します。

故に、これは制御できないと分かります。


足し算と引き算で表現されるものは、

現実でも意外と把握しやすく、威張って説明しても、

「一応想像できるので、もっと別のことを教えてください」

と言われます。

ところが、掛け算の関係が潜んでいると、

理屈がわかったとしても、把握し辛い。

とはいえ、ぎりぎり人間が把握できる関係ですよね。


「重いものほど持ち上げるのに力が必要」

こういう比例については体感で知っています。

「二人で力を合わせたら、重さは半分だ」

などもわかります。


次に指数や乗数ですが、これについては、

「少しでも差があると、その差は比例ですまない、大変なことになる」

事態を指し示しています。

例えば、1万人の敵に対応する5000人の味方がいたとします。

これはやりたくないですね。

ところが、敵が集合したときは、一辺で100人です。

味方の場合は、70人です。

うっかりと誰かが、

「敵と大して違いがありません、ここは勝てますよ」

と見えてしまい、みんなに報告したとします。

実際にやってみて、こんなに違うのかと後で後悔します。

地平線から見た感じでは、各自が1.4倍くらい頑張れば勝てそうです。

しかし実際には倍くらい頑張らないと届きません。

人間が把握し辛く、その上で想像と違ったと言う現象は沢山あります。

体感に大きく影響するものを発見し、

これらを覚えておくのは人の知恵です。



さらにこれに幾つかの要素が加わると、

把握できないがために関係がないと思ってしまい、諦めてしまうものもあります。

こういうものは出たとこ勝負で実施されます。


しかし、頑張って調査すると、数式に直せたりする場合があるのです。

例えば、波の性質をあらわすものがあります。

ＳＩＮやＣＯＳで表現されます。

また、円周の各点を座標で表現するときも用いられます。

しかしこのＳＩＮ，ＣＯＳ、意外と把握し辛いです。

値が表になっていたりして、がっかりすることがあります。

ところがこれも多項式（足し算と掛け算の羅列）で表現できます。

マクローリン展開（テイラー展開）参考記事：
http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch …


こうやって分解して表現されると、

先ほど述べた、体感と違うけどギリギリわかるものの組み合わせで表現できます。

ＳＩＮやＣＯＳと言う表現でも良かったんですが、

自分にとって制御できる部分が少なく思えて、他人事に感じますよね。


ということは、式が複雑になり把握できなくなると、

それ自体に意味が無いと言う事になります。


次は時代的な変遷です。

技術力が進展し、

今ではコンピュータがありますから、

複雑な式で人が直感的に理解できなくても、

コンピュータに計算させれば良いですよね。

非常に相性が良いはずです。


しかしさらに発想の展開で、

数式をいじって分かりやすく整理することに意味があるのか？

誰も見ないわけですし、コンピューターは億劫だと言いません。

そのままコンピュータにリアルタイムで測定させてしまえば、

数学そのものが要らないのじゃないか？

という論議が巻き起こりますよね。


先端の数学分野ではそういう発想に移行している人もいるようです。

ある命題があり、どうなっているのか視覚化（グラフなど）で、

把握してみたい。とにかく知りたい。

と言う方々の集まりです。

「数式をいじらずに、無理やりコンピューターに計算させたのはわかった。

　私も知りたかったので、こうして目で見ると大変面白い？

　だが君。結果をグラフで出しただけでは足りないんじゃないかね？

　これを我々が利用するためには式が必要だよ」

「いや、その場合もどうせコンピュータが実施します。

　実際問題、人が手でやることは不可能な命題です。

　なのでこのまま使えば良いんですよ」

フラクタル図形などはそういうものですね。

そして、この用途でコンピュータはどんどん進化しています。

（コンピュータが電子計算機といわれる由来ですね）

スーパーコンピューターなどは、数式で表現することを諦めた分野で活躍します。


人が直感で理解できる限界が、掛け算程度です。

乗数はぎりぎりですので、人を選びます。

それ以上となると、数式自体の効果がなくなってくるのです。


以上から、物理の教科書に選ばれて、載せられている、美しい式とは、

大体において、掛け算と割り算によって表現することに成功したものです。

もちろんここに至らずに、

「まだ見やすくする余地ってあるんじゃないの？」

と言われて、お蔵入りしている公式が沢山あります。

これらはコンピュータソフト内に組み込まれて利用されるわけです。

昔ファミコンソフトのゲーム開発のアルバイトをしたことがあります。

マリオなどの動きは、物理法則の重力加速度を使用して演算により動かしています。

また、昨今流行の３Ｄポリゴンのゲームがあります。

登場するキャラクター達が腕を曲げたり、足を曲げたりしますが、

これの座標計算をクォータニオンと呼ばれる数学の変換式により行っています。

変換された座標を３Ｄぽくリアルに見せるために、

複数の座標変換を行っています。


式とは現実を変えるものではありません。

左と右の量は同じですから、組み替えて表現するとしても何も生産しておりません。

効能として、人に対して把握を容易にし、可能性を示唆するだけです。

数式自体に馴染みがない人には、全く価値がありません。

一般の人が活用する限界は、日常で体感できる比例関係くらいです。

これらは掛け算として表現できます。

割り算も同様に、分担とかノルマみたいなもので把握できます。

勿論役に立ちます。

それより高度になるものは、式を公表しても一般の人は利用できないでしょう。

専門家が集う工業製品やソフトウェア内に組み込めば良しとされています。

自然科学のほとんどは、何かを把握し、可能性に思いを馳せるためにあります。

人間が理解できないものは、可能性の示唆になりません。


アインシュタインの公式が現すことは、

エネルギーと物質の重さと光の速さで構成されています。

利便性として非常に大きな可能性を示すものです。

しかし、これ（結果として出来た公式）の理解が比較的容易であったと言う事。

この偶然に対して、多くの人が感動し、賞賛しているわけです。


まとめますと、

物理現象が掛け算や割り算で表現されてしまうのではなく、

掛け算や割り算で表現できたモノを紹介しているだけです。

これ以外はたとえ関係があったとしても、活用できません。

人が把握し辛いからです。

先ほどＵＲＬで提示したものは、凄い発見なんですが、

利用し辛いですよね。なので大学の初頭数学で習いました。

一般に知らしめる効能が薄いので、知りたい人（進学する人）向けです。


そして、数式を解釈するのが得意なコンピューター向けの公式が沢山あります。

これらを開発した人であっても、イメージできません。

そのためにソフトウェアで視覚化したりします。

ですがこの学者さんもソフトウェアを組めなければ、やはり把握できません。

グラフすらかけないからです。



私たちが体感で感じており、良く知っていることは、

意外と簡単なルールにより動いているものが多いんですが、

これらを感覚として把握する器官が人にはないんですよ。

まずは「複雑に見えていたものが、そうでもなかった」。

というあたりを、”身近で役に立つ”ものから解明していった。

これらがやりつくされているわけです。

そのためそう言う物が高校向けの教科書に乗るようになります。



最後に、

数式の組み換えに命を燃やしている人も、ソフトウェアの作成に命を燃やしている人も

沢山います。

物理としては、人が把握できる、なるべく簡単な式に表現した人が成功者です。

成功者の結果だけが発表されていますから、

掛け算と割り算が多いのだと思います。

足し算と引き算で関係されるものは、

発表する前に、誰かがきがついているのじゃないでしょうか？


以上、ご参考に成れば。

No.9 回答者： chiha2525 回答日時： 2015/03/15 23:15

No.1さんの回答推し。

足し引きは、同じものでないと意味がない。距離から時間を足したり引いたりしても意味がない。

No.8 回答者： ペロリン 回答日時： 2015/03/15 20:04

単純に述べると和差だけだと式が長くなるからです。

( ･ω･)ﾉ

No.7 回答者： fxq11011 回答日時： 2015/03/15 20:02

哲学的！、的がつくということは哲学ではないということです、単に国語の理解能力の問題です。

例　「１」、「１」、「１」、（１は数値ではなくあるものの最小単位を指します）。
「１」が３個ですね、数学的には、１×３、となります、「的」がつくため数学ではないので＝３、にはなりません。
１×３、が数学の式なら、＝３、となります。
上の説明、理解能力がないとたぶんチンプンカンプンと思います。
物質は元素からなっています。
炭素２個、水素６個から、エタンという単価水素ができます。
炭素２個、この表現は数学的な表現では、炭素×２となります、これが気に食わなければ、炭素、炭素、水素、水素、水素、水素、水素、水素、と表現するのですか。
あなた自身も元素の集合体ですよ炭素X個、水素Y個、・・・・・、その他条件＝何の誰それ。
突き詰めれば、各種の元素×？個、の集合体、上記例のエタンなら、十分書ききれますが、あなた自身の元素の数を並べると「炭素」だけでも数万個以上羅列の必要があります。
要は理解力（一般に言われる、頭の良い、悪い）の相違です。

No.6 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/03/15 15:31

No.5です。

読み返してみたらあなたはすでに正解を見出していた。
>（というよりもある現象と現象をくっつけて表現させる力があるのか？）
まさにそのためなのです。
ただ「現象」ではなく「物理量」と言うほうが良いでしょう。
『異なる次元の物理量の相互の関係を示す』のが物理ですから。
速度と加速度、時間という３つの物理量を考えてみると、
速度　 量記号　v, u　　次元　LT⁻¹　 種類　ベクトル　　(SI)単位　メートル毎秒 (m/s)
加速度 量記号　a　　　 次元　LT⁻²　 種類　ベクトル　　(SI)単位　メートル毎秒毎秒 (m/s²)
時間　 量記号　t　　 　次元　T　 　 種類　スカラー　　(SI)単位 秒 (s)
　これらの物理量の関係式は
　v = V₀ + at　　単位をつけてみるとを見ると
　v = V₀(m/s) + a(m/s²)t(s)
交換則
　v = V₀(m/s) + at (m/s²)(s)
　v = V₀(m/s) + at (m/s)
(結合)
　v = (V₀ + at)(m/s)
　　　vの単位は(m/s)
　v(m/s) = (V₀ + at)(m/s)

★単位だけ注目すると、加速度の分母にある(時間)二乗が、時間で約分されていますね。
　ここで、V₀(m/s) + at (m/s)= (V₀ + at) (m/s)では、足し算ですから単位(次元)は変化しません。

>一体数学者や数式を作ってきた天才たちは、掛け算と割り算をどのような思想で捉えてきているのでしょうか？。
　別に天才と言うことではなく、中学校で数学が始まった時に、
・数の拡張　整数、小数、分数　有理数　無理数・・・
それによる
・式の拡張　交換、分配、結合・・・移項（=は両辺に同じ処理しても変わらない）
を学んだと思います。
　それによって、物理で数学が使われる。ということですよ。

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/03/14 17:55

「掛け算は足し算のひとつ」なんてのは小学校の二年生でオシマイ(^^)

　２年生では、次元は変わらない・・２個×3皿 = 6個　　皿は無次元
そうではなく、異なる次元のものを変換するために掛け算が必要なのですよ。
　(注)割り算は掛け算ですよ。これは中一で叩き込まれたはずです。
　　割り算引き算がなくなったことで代数処理ができるようになった。
　　割り算は逆数をかけること。引き算は負数を加えること。
　　(交換則) A?B = B?A　　?は×と+
　　そして、(結合則)と(分配則)

★次元を変えるとは
　長さの次元--L と長さ(L)をかけると L²　という次元を持つ面積になります。
　　　長さにmの単位を取ると、面積はm²という別の単位になるでしょ!!
　E = mc²　より、エネルギーの次元は ML² T⁻²　
　言い換えると、「掛け算によって異なる次元の物理量に変換する」のが物理学だからです。

　色々な物理量をwikiで調べてご覧なさい。必ず次元が書かれている。異なる次元の物理量に変換するためには、掛け算(割り算を含む)しかないということです。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/14 11:39

物理学は「2つ以上の物理量の間の関係」を記述するものが多いからです。

（ご質問中のアインシュタインの公式などはその典型ですね）
　時間と力、力と運動、力とエネルギー、エネルギーと質量、などなど。

　異なる物理量を、そのまま足したり引いたりすることは、ほとんどの場合できません。何らかの形で「変換」が必要です。
　一番単純な変換は「比例関係」ですが、比例定数を介した掛け算です。

　単純な比例関係でない場合には、｢二乗」は面積、「三乗」は体積に対応します。

　また、物理学は、現象の経時変化を扱うことが多いので、現象の時間に対する変化を微分方程式で表わすことが多くなります。
　時間に対する変化（速度など）を表わすには１階微分、さらにその変化率（速度の変化＝加速度など）を扱うには２階微分が必要になります。微分回数に応じて、それを積分することによっておおもとの物理量に戻すと、｢二乗」などの累乗が現れます。

　別に、「物理学系の式は、掛け算と割り算ばかり」なのではなく、物理学によって取り扱う現象、解明した現象の多くが「比例関係」「微分関係」なので、結果的に掛け算・割り算が多くなっているということでしょう。

　足し算・引き算の典型例のように見える「お買い物」においても、100グラム98円のものを500グラム買うときや、1万円のものを5%値引きしてもらったり、最後に「消費税」を計算する際には、必ず掛け算・割り算が必要になりますよね。足し算・引き算が日常的な桁数なら簡単に頭の中でできるのに対し、掛け算・割り算は１桁の「九九」を超えると頭の中ではできなくなるので、無意識のうちに拒否反応が出ているだけではありませんか？
　何となく、「足し算・引き算＝現実に目の前で起こっていることをそのまま扱う」、「掛け算・割り算＝起こっている現象を一度抽象化・一般化して扱う」という発想が、裏にありそうな気もします。

No.3 回答者： らむおじさん 回答日時： 2015/03/14 11:26

足し算をより見やすくしたものが掛け算だからだよ。

3＋3＋3より3×3の方が見やすいでしょ。

No.2 回答者： 祇園精舎 回答日時： 2015/03/14 11:25

面白い質問ですね。

質問者様の腑に落ちる回答ができるとよいのですが。

物理では，現象を観察して，それを数式で表現するときに，近似しても構わないからまずは「比例式ｙ＝ａｘ」で表してみようとします。この関係は，小学校ですら習う最も基本的な相関関係であって，ｘが大きくなると，ｙも一定の速さで大きくなる，というとても理解しやすいもの，というのが大前提にあります。
今，「近似しても構わない」と書きましたが，おそらく歴史的には，測定の技術などがまだ足りず，必然的に近似的な測定となり，結果これらの比例関係式がたくさん収集されたことでしょう。
さて，ここからは，主に２つの方向性があると思います。

１）比例定数ａの中身を調べる
変数ｘとｙだけに注目している限りではａはただの「比例定数」である訳ですが，あとでよく調べてみたら，実は温度Ｔが高くなるとａが大きくなることが分かった，等というのはよくあることです。こうしてさらに，ａと温度Ｔとの関係を調べることになるでしょう。当然この際にも，さっきの「まずは比例関係で」となりますから，こうして，法則を表す数式は，質問者様の言う「掛け算だらけ」の状況になるのではないでしょうか。

２）近似の精度を上げ，比例関係からのずれをもっとよく調べる
例えば，オームの法則は比例法則ですが，よく知られているように，ある程度限られた状況下でしか成立しません。物理の入試問題なんかでも，いわゆる「比オーム抵抗」と呼ばれるものが登場し，このときにはオームの法則を使用することができません。
他にも，気体の状態方程式も，アインシュタインの重力場の方程式も，最初は比例法則だったものが，その後の精査によって，実は比例関係からずれることが発見され，そのずれを補正するために，何らかの，しかし物理的にも意味のある項（ファンデルワールス定数や宇宙項）を導入することとなった訳です。
無限個のパラメーターを導入してしまえば，どんな複雑な依存関係でも記述できてしまい，それはあまり意味のないことですので，この場面では，「いかに少ないパラメタ―で現象を正確に記述できるか？」に心血を注ぐ訳ですね。

という訳で，２番の方面で登場する法則群をご覧になれば，足し算や引き算もそれなりにお目に掛かると思うのですが，２番は元々その道の専門家が進むものですので，一般的な物理学の教科書に登場する法則となると，やはり１番の比例法則が多くなるのではないでしょうか。

以上，私見ですが，書いていて面白かったです。
他の方のご意見も聞いてみたいと思いました！

No.1 回答者： ym3F 回答日時： 2015/03/14 10:49

タイトルがちょっとおもしろかったので読んでみました。

私が思うところ
足し算、引き算は同種のものどうしの計算に使用し、
掛け算、割り算は異種のものの相対関係をだすものだと思います。
Aが増えればBも増える（または減る）とか。
二乗、三乗などは、AとBには相対関係にあるものの、比例しない独自の関係を表すものであると思います。
であるので物理学など、各条件の時の公式に使用されるのは掛け算、割り算を多用することになるのではないでしょうか。