物質の密度分布から地球内部の圧力を見積もる方法に関して

物質の密度分布から地球内部の圧力を見積もる方法に関して以下の①～⑤までの5式が何を表し、そしてそれの導き方(途中計算)を教えてください。その際、噛み砕いて解説していただけると助かります。
テキストには以下のように書かれてあります。

「まず、地球を同心円状に同質の物資で構成される球としよう。これは地球雨の半径方向にいろいろな物理量が変化することを意味する。こうした時、ある深さでの効力と重力はつり合っている。これが力学平衡の条件である。一方、重力はその深さより内部の質量が地球の中心にあると考えて、その質量とその深さの密度との間の引力に等しい。その質量は地球内部の密度分布が与えられなければ、それを深さ方向に積分して求められる。このようにして地球内部の圧力分布と重力加速度分布が、地震波速度から決められた密度分布を用いて求めることができるのである。これらの式を書き下すと、
dP/dr=-ρ(r)g(r)―①
g(r)=-GM(r)/r^2―②
dM/dr=4πｒ^2ρ(ｒ)―③
dP/dρ=k/ρ―④
k=ρ(Vp^2-4/3・Vs^2)―⑤

となる。ここでρ,gはそれぞれ密度と重力加速度であり、GとMは引力定数と質量、Pは圧力である。実際には密度分布を積分して重力加速度分布と圧力を決定するのである。このようにして決められた地球内部の力学状態を静水圧平衡モデルという。単純だが大変有効なモデルである。上の連立方程式ではkを観測量とすると、密度が決定され、次に半径がrまでの質量が決まる。」

質問者からの補足コメント

• 追加質問
  1ある深さでの抗力と重力はつり合っている。(抗力の間違いでした。)これが力学平衡の条件である。
  ⇒この文章は式で書くと
  dP/dr=-ρ(r)g(r)―①
  となる過程を教えてください。
  圧力Pを距離rで微分したものは密度ρと重力加速度gにマイナスをかけたものとなる途中計算がわかりません。
  
  2その質量は地球内部の密度分布が与えられなければ、それを深さ方向に積分して求められる。
  ⇒dM/dr=4πｒ^2ρ(ｒ)―③
  となる過程を教えてください。
  地球の質量Mを距離rを微分したものは地球の表面積に密度ρをかけたものとなる途中計算がわかりません。
  
  3
  dP/dρ=k/ρ―④
  k=ρ(Vp^2-4/3・Vs^2)―⑤
  からρ(r)とP(r)の関係式を求める計算過程と
  これらとdP/dr=-ρ(r)g(r)―①を連立して、P(r),ρ(r)を求める計算過程を教えてください。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/04/14 20:43

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/04/14 08:59

文章に誤りが目立ちます。

正確に書いてください。とりあえずそのままで文章と指揮を対応させてみます。

＞まず、地球を同心円状に同質の物資で構成される球としよう。これは地球雨の半径方向にいろいろな物理量が変化することを意味する。

⇒　これはすべての量を地球中心からの距離rのみの関数とすることを意味する。とくに目的は圧力Pと重力加速度ｇをrの関数として表したいということであって、P(r), g(r)の関数形を求めることが趣旨である。大筋の流れは

「②、③からg(r)を求め、④、⑤からρ(r)とP(r)の関係式を求め、これらと①を連立してP(r),ρ(r)を求める。」

ということである。



＞こうした時、ある深さでの効力と重力はつり合っている。これが力学平衡の条件である。

⇒　「効力」は間違いです。訂正してください。圧力Pがらみでしょう。この文章は式で書くと

　　　　　　　　　　　　　　dP/dr=-ρ(r)g(r)―①

になる。


＞一方、重力はその深さより内部の質量が地球の中心にあると考えて、その質量とその深さの密度との間の引力に等しい。

⇒　ニュートンの万有引力の式です。

　　　　　　　　　　　　　g(r)=-GM(r)/r^2―②　　　　　


＞その質量は地球内部の密度分布が与えられなければ、それを深さ方向に積分して求められる。

⇒　③式

　　　　　　　　　　　　dM/dr=4πｒ^2ρ(ｒ)―③

より

　　　　　　　　　　　　dM=4πｒ^2ρ(ｒ)dr

M=∫ｄM=∫4πｒ^2ρ(ｒ)dr

を言っています。


＞このようにして地球内部の圧力分布と重力加速度分布が、地震波速度から決められた密度分布を用いて求めることができるのである。

⇒　④、⑤からP(r)とρ(r)の関係を求める。④は状態方程式であって、実験的に求める定数を必ず含む。これがkであって、kは⑤式のように、地震波速度（縦波速度Vｐと横波速度Vs）によって与えられ、Vｐ、Vsを実測するということである。実はVｐ、Vsは地殻、マントル、コアにおいて明らかに異なるので個々に測定する必要があるがその測定は大変で、この文章はそこまでは踏み込んでいない。④、⑤から求めたP(r)とρ(r)の関係式と①を連立してP(r),ρ(r)を求めることができるのである。