「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

半径aの球体の物体が粘性抵抗n、密度qの流体中を速度vで運動する場合、浮力を無視し、流体からうける粘性抵抗fvと慣性抵抗fiを考えにいれると、運動方程式は m・dv/dt=-(mg・ez+fv+fi)ただし、vはベクトル、ezはz方向の単位ベクトルである。また、fv=6πanvt、fi=πqa^2vt^2/4 (vtは終端速度)となる、とありました。でもこの微分方程式が解けません。教えてください。可能な限りで途中の式もお願いします。

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A 回答 (2件)

 


 
 こんな構図ですね?

↑浮力(今は無視) D
↑流体をかき分ける慣性による抵抗力 = πa^2q/4・V^2
↑流体の粘性による抵抗力 = 6πaη・V


地球に引かれる力 = mg = 駆動力


 運動方程式は、
  m dV/dt = -πa^2q/4・V^2 - 6πaη・V + mg
係数がめんどいから一文字にします。
  -dV/dt = AV^2 + BV - C
変数分離できるから

     dV
  ─────── = -dt
   (AV^2+BV-C)

分母の判別式; -B^2-4AC<0 ゆえ、積分結果は対数型。
  D = √(B^2+4AC)
とおいて、
   1    2AV+B-D
  ─・log───── = -t
   D    2AV+B+D

これを V= の形にするのは簡単だから自力で。



 なお、「終速度だけを求めよ」なら、
終速度は一定速度ゆえ dV/dt=0 つまり左辺=0。ゆえに積分でもないただの二次式の根の公式です。


(昼休み過ぎたのでここまでにします。積分の考え方などは数学板で。)
 
 
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この回答へのお礼

丁寧で親切な解答ありがとうございました。v=の形には無事することができました。これでレポートが書けます。本当にありがとうございました。

お礼日時:2004/06/23 14:13

右辺は定数ですよね?


両辺をtで積分しましょう。
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Q空気抵抗の式について

空気抵抗は次式で求められるそうですが、なぜ2で除すのか理解できません。
      F=P*C*S*V^2/2
F:空気抵抗、P:空気密度、C:空気抵抗係数
S:投影面積、V:速度

私なりに考えますと、投影面積(S)に速度(V)をかけてさらに空気密度をかけることで移動した空気の質量が求られ(S*V*P)、その空気は毎秒静止状態から速度Vまで加速されるので加速度がVとなり、力は質量と加速度の積より空気の密度*加速度となり(P*S*V^2)、結局Fは空気抵抗係数を式に加えることで、
      F=P*C*S*V^2
となり、2で除する必要がない気がするのですが・・・
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を加速/減速できますよね。 流体の中では 微細部分どうしもこすれ合ってます。だから物体の表面からもらった速度が 広い範囲に次々と分配されて広がって薄まってゆきます。

 No.4の回答も微小な速度変化のつもりで書きました。(巨視的なスケールで考えてしまうと、V は直線変化と限らないので係数が 1/2 である説明になりません。)
これの元ネタは 力学エネルギの定義 です; 力Fで動いた距離dxの積 Fdx がエネルギの定義、 微小距離 dx の間の速度変化は直線と見なされるので時間積分して距離を求めると係数 1/2 が登場する‥というやつです。 で、ベルヌーイの定理の式は エネルギ保存の法則の式 そのまんまですから 係数 1/2 も素のママで登場してます。それが空気抵抗の式にも引き継がれてる、、、という系図です。



 余談;
 空気抵抗は、速度の1乗で効く「粘性抵抗」と、速度の2乗で効く「慣性抵抗」があります。 どちらも運動量保存の法則によるものです。 前者は 流体が物体表面をなでて通る際に物体の運動量を分与され、それが流体分子同士のランダム衝突でバトンタッチされて物体表面からどんどんバケツリレー式に汲み出されてしまう現象です。 後者は 流体分子が物体と正面衝突して速度V に加速される際に物体側の運動量がモロに減る現象です。
 大胆(かつ不正確)に例えれば、槍のような棒が飛んでる場合、前者は棒の側面を空気がなでる抵抗、後者は棒の正面の面積が空気と正面衝突する抵抗です。
 後者の場合、あまりに急な衝突で 周辺とのやり取りが間に合わないと いわゆる「断熱圧縮」になって空気が高温になります。スペースシャトルで、その高温空気が機体の内部に侵入し、金属が熔けて空中分解に至って乗員が死亡した事故が有名です。(事故当時 「 超音速で空気とこすれたための摩擦による熱が原因 」 という報道説明がよくありました。クルマのブレーキ過熱などの日常経験からの演繹でしょうが、流体力学的に正しいのは粘性抵抗の方ではなく慣性抵抗。後者が圧倒的に大きいです。超音速ゆえ断熱圧縮になり物体先端に集中しました。)

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

 もし流体に摩擦が無かったら; 上記の「粘性抵抗」も「慣性抵抗」も「揚力」も起きません。
 
 

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を...続きを読む

Qかなり低レベルなこと聞くようですがお願いします(抵抗力)

抵抗力が速度に比例するときと速度の2乗に比例するときって、それぞれどういうときに使い分けるんですか?
あと、雨粒の大きいのと小さいのでは大きいほうが速く落ちるとのことですが、重力は直径の3乗に比例(体積に比例)し、抵抗力は直径の2乗に比例(表面積に比例)するため、大きければ大きいほど重力のほうがきいてくるため速く落ちると聞きました。これも最初の質問と同じで、抵抗力の表面積を考慮にいれるときといれないときというのはどう使い分けるんですか?
(抵抗力=-CVでは表面積は関係ありませんよね?)
そもそも重力って直径の3乗に比例するんでしたっけ?

どなたかお願いします。

Aベストアンサー

 
 
>> 抵抗力が速度に比例するときと速度の2乗に比例するとき、それぞれどういう使い分け <<

 まずこの図で「1乗の式だけで済むのはかなり低速のときだけ」、「高速では2乗が圧倒的」、「しかしその中間は両方とも必要そうだ」、とイメージをとらえてください。
http://cgi.2chan.net/m/futaba.php?res=23464
(図をクリックすれば拡大します)

 下記は両方とも使った回答例です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153
 途中までしか解いてませんが V = の形に変形してください。指数関数の前に付く係数が最終スピードです。それに球の場合の質量や面積を入れてみれば、ほぼ 求めてることの答が見えると思います。


 御存知と思いますが、1乗や2乗の項は 近似式でしかありません。それぞれ 粘性による空気抵抗、慣性による空気抵抗、の近似式です。 前者は 流れが物体の表面をなでて通る際に 空気分子同士がランダムに衝突して物体からの運動量を持ち去られる現象、 後者は 物体が空気分子と正面衝突して速度Vに加速する(圧縮で圧力が上がる)際に運動量を持ち去られる現象です。
 大胆に例えれば、槍のような棒が飛んでる場合、前者は棒の側面を気流がなでる抵抗、後者は棒の正面の面積が気流と正面衝突する抵抗です。


>> (抵抗力=-CVでは表面積は関係ありませんよね?)<<

 こうお考えください;棒と空気の立場を入れ替えて パイプの中を気流が通る場合を。長いほど抵抗が大きいのは 水道ホースの長さと水の勢いで実感されてると思いますが。


>> そもそも重力って直径の3乗に比例するんでしたっけ? <<

 です。球ならば 体積計算の式 そのままです。

 
 
 質問がありましたら追加請求してください。

参考URL:http://cgi.2chan.net/m/futaba.php?res=23464,http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

 
 
>> 抵抗力が速度に比例するときと速度の2乗に比例するとき、それぞれどういう使い分け <<

 まずこの図で「1乗の式だけで済むのはかなり低速のときだけ」、「高速では2乗が圧倒的」、「しかしその中間は両方とも必要そうだ」、とイメージをとらえてください。
http://cgi.2chan.net/m/futaba.php?res=23464
(図をクリックすれば拡大します)

 下記は両方とも使った回答例です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153
 途中までしか解いてませんが V = の形に変形してください...続きを読む

Qストークスの法則でいきなり6πが現れるのはなぜ?

粘性抵抗において、物体が球体であった場合、その粘性抵抗は以下の
F = 6πRηv (η:粘度、R:球の半径、v:速さ)
という式が成り立つといいます。
粘度が大きくなれば抵抗力が増すのは分かります。
速さが大きくなれば抵抗が増すのもわかります。
ですが、なぜ定数として6πRが出てくるのでしょうか?
これは実験的に求めただけですか?
理論的に、何かの方程式から導出されるのですか?

何か知っている方、どうか教えてください。
回答お願いいたします。

Aベストアンサー

http://chemeng.in.coocan.jp/fl/fl08a.html

球のまわりの遅い流れ

の部分

理論的に求めているようです

Qアリを屋上から落としたら・・・

以前から気になっていたのですが、アリのように軽い生き物をビルの屋上から落っことしたら、死んでしまうのでしょうか。
死んでしまうとしたら、どのくらいの高さ以上だと死んでしまうのでしょうか。
おわかりの方がいましたら、是非教えてください。

Aベストアンサー

siegmund です.

> ごめんなさい。毎度のことながらstomachman間違えてしまいました。

いえいえ,最初に適用条件を無視したアホは私です.
学生にいつも言っているのに(^^;)

物理学演習みたいになってきました.
こんど,授業で出したろか.
きっと,ストークスの式使ってとんでもない値出す学生がいるな.
ここでアホやったことは学生には内緒にして置かなくちゃ.

で,Cd ですが,事典を見ると,
雨の落下速度は半径100μmで71cm/s,1mmで649cm/s,
2mmで883cm/s,2.9mmで917cm/sである,
とあります.
ははあ,大粒の雨があたると痛いわけだ.
重い粒が勢いつけて落ちてくるんだから.

stomachman さんの式から Cd = 8ρgr/3ρ'U^2 なので,
上の雨のデータから Cd を見積もってみると,
それぞれ ,0.40,0.48,0.52,0.69,です.
雨粒が落ちて来るときは球形でなくていわゆる雨滴型になっていますから,
その影響もあるんでしょう.
逆流線型だから,Cd も大きくなりそう.

あとは,アリさんの体重か.
う~ん,わからん.
百科事典には体長は載っていますが,体重は載っていないですね.

抵抗の式で r と書いているのはいわゆる代表長さで,
球なら半径でいいのですが,アリさんだと体長をそのままとるかどうか
難しいところ.
もちろん,ρとも関係します.

あとは,形で Cd はかなり違いますよね.
stomachman さんの言われるように手足広げれば大分 Cd が大きくなります.
パラシュートなぞ,その極みですよね.

で,stomachman さんの結果は 6m/s くらいで,
少し(大分かもしれませんね)過大評価になっていそうだ,ということです.
まあ,この半分 3m/s としまして,
多少荒いですが,v = √(2gh) から終速に達する距離を求めると,
h = 0.5 m になります.
ビルの屋上から落としても,地上の人間が普通に落としても,
アリさん終速はほとんど同じということです.
手からアリさん落としても何ともないですよね.

あの,手から落としても何ともないからビルの屋上でも平気,
というのはあくまでアリさんの話ですよ.
ネコちゃんや人間だと全然話が違いますから,念のため.

siegmund です.

> ごめんなさい。毎度のことながらstomachman間違えてしまいました。

いえいえ,最初に適用条件を無視したアホは私です.
学生にいつも言っているのに(^^;)

物理学演習みたいになってきました.
こんど,授業で出したろか.
きっと,ストークスの式使ってとんでもない値出す学生がいるな.
ここでアホやったことは学生には内緒にして置かなくちゃ.

で,Cd ですが,事典を見ると,
雨の落下速度は半径100μmで71cm/s,1mmで649cm/s,
2mmで883cm/s,2.9mmで917cm/sである,
と...続きを読む

Q空気抵抗は落下する物体の速さに比例

高1です。
空気中を落下する物体は、速さvまたはvの2乗に比例する抵抗力を受ける、と参考書に書いてあったのですが、
どんなときに1乗で、どんなときに2乗になるのかが書かれていません。
なので、それを教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

速度が小さい場合は、空気抵抗は速度の1乗に比例します。
ある以上の速度(空気などの周囲の物質の粘性で変化します)を越えると、2乗比例の式に近づきます。
よほどゆっくり出ないと、1乗比例とはなりませんが。このへんの一乗2乗はあくまで近似的な物で。流体力学的な式は、もっと複雑になります。

この辺をどうぞ。
http://www.higashi-h.tym.ed.jp/course/kadai15/matome/kuuki.htm

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q空気抵抗の計算

物を投げたり飛ばしたりしたときの、空気抵抗の大きさについて考えているのですが、僕は高校の物理IIくらいまでの知識しかなくてなかなか理解できません。
wikipediaの「抗力」の項目には、
(抗力)=(1/2)×(空気の密度)×(物体の速さの二乗)×(物体の代表面積)×(抗力係数)
というような内容書かれていて、
抗力係数は、レイノルズ数、マッハ数、迎え角によって変化するそうです。
そこで疑問に思ったこがあるので質問をさせてください。
流体力学の教科書によるとレイノルズ数には流体の密度や流体の速度が含まれているのですが 
空気抵抗は結局どういった式であらわされるのでしょうか。(レイノルズ数などをわかりやすい形になるようにした式でお願いします) また、物体の速度は何とかわかっても、流体の速度はとても計測できそうにないのですが現実で計算することはできないのでしょうか。

最後に、抗力とよく似た式で揚力というものがあるそうです。抗力が小さくなれば揚力も小さくなってしまうと思うのですが、できるだけ遠くに物を投げたかったらどのように計算すればよいのでしょうか。


流体力学については全くと言っていいほど知識がないため、もし意味の分からないことを言っていたらすみません。

物を投げたり飛ばしたりしたときの、空気抵抗の大きさについて考えているのですが、僕は高校の物理IIくらいまでの知識しかなくてなかなか理解できません。
wikipediaの「抗力」の項目には、
(抗力)=(1/2)×(空気の密度)×(物体の速さの二乗)×(物体の代表面積)×(抗力係数)
というような内容書かれていて、
抗力係数は、レイノルズ数、マッハ数、迎え角によって変化するそうです。
そこで疑問に思ったこがあるので質問をさせてください。
流体力学の教科書によるとレイノルズ数には流体の密度や流体の...続きを読む

Aベストアンサー

抵抗を受ける物体の速さによって、
2種類の抵抗が考えられます。

粘性抵抗(速さに比例)
比較的低速の場合、物体が表面付近の流体を
引きずるために生じる抵抗です。
流体の粘度×速度勾配×物体の表面積
に比例します。
半径rの球状の物体が粘度ηの流体中を速さvで
進むときの粘性抵抗は 6πηrv になります。
(ストークスの法則)

慣性抵抗(速さの2乗に比例)
物体の速さが大きくなると、物体の周りで流れが
滑らかにはならず、物体の後ろに渦ができるように
なります。このとき渦のある物体後部に比べて、
前部の圧力は(1/2)ρv^2だけ大きくなります。
ρは流体の密度です。この進行方向と逆向きの力が
慣性抵抗で、物体の断面積をAとすると大きさは
(1/2)Cρv^2A となります。Cは0.5~1の定数です。

また、抗力と揚力は別の力で、物体の進行方向と
逆向きに働くのが抗力で、進行方向と垂直に働くのが
揚力です。平らな物体を少し前上がりにして投げると、
上向きの揚力が発生します。球体では回転が無ければ
揚力は0です。
参考までに、砲丸投げ(7.2kg)の世界記録は23mで、
円盤投げ(2kg)の世界記録は74mです。
揚力の大きさは速さの2乗に比例して(1/2)C_Lρv^2S
です。ここでC_Lは揚力係数、Sは物体の代表面積です。
C_Lは迎角や物体の形状によって変化します。

抵抗を受ける物体の速さによって、
2種類の抵抗が考えられます。

粘性抵抗(速さに比例)
比較的低速の場合、物体が表面付近の流体を
引きずるために生じる抵抗です。
流体の粘度×速度勾配×物体の表面積
に比例します。
半径rの球状の物体が粘度ηの流体中を速さvで
進むときの粘性抵抗は 6πηrv になります。
(ストークスの法則)

慣性抵抗(速さの2乗に比例)
物体の速さが大きくなると、物体の周りで流れが
滑らかにはならず、物体の後ろに渦ができるように
なります。このとき渦のある物体後部に比べて、...続きを読む

Q回転運動の粘性抵抗の測定

回転運動方程式
N = Idω/dt + Dω
N:トルク
I:慣性モーメント
ω:角速度
D:粘性摩擦係数

において等速運動にすることでdω/dtを無視し、測定したTとωの値からDを求めるという実験を行ったんですが、Tとωの値を大きくするとDが小さくなり、ほぼ一定の値になりました。

なぜ、Tとωが大きいほどDが小さくなるのでしょうか?
実際回るときに速度に比例しない動摩擦力が働いているためにTとωが小さければ、それが粘性摩擦係数Dの値を大きくしていると考えたんですが、なんか違うような気が…(そもそも粘性摩擦って動摩擦の一種なんですよね)

整理の付かない文章ですが、ヒントだけでももらえるとありがたいです。回答お願いします。

Aベストアンサー

各種粘度計開発経験者です。
粘性流体において、せん断速度とずり応力が正比例する特性(粘性一定)を「ニュートン性」、その流体をニュートン流体と言いますが、これは理想状態であって、現実はあらゆる流体は非ニュートン流体です。
非ニュートン流体の代表的特性としては、低速度で粘性が高くなります。あなたのデータはそれを示しています。
そのようになる理由は結構難解で、「レオロジー」という一つの学問分野になっています。興味があればレオロジーを研究してみて下さい。
比較的ニュートン流体に近いのは「シリコンオイル」です。
逆に典型的な非ニュートン流体は「澱粉糊」です。
比較実験をされると面白いデータが得られると思います。

Q空気抵抗係数について

空気抵抗係数 λ (kg・s^2/m^4)  の実際の値を教えて下さい。色々と調べてみたのですがよく分かりません。標準状態での空気の場合、どの程度(kg・s^2/m^4)の空気抵抗係数になるのでしょうか。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

空気抵抗係数は、摩擦係数とか、損失係数という方が普通で、無次元量のはずです。流体が空気でも水でも、同じものです。ムーディ線図という線図が有名で、流体力学や気体力学、水力学の本には、必ず載っています。

参考URL:http://zgkw3.sd.kanagawa-it.ac.jp/jikken/jkna/kan.pdf

Q粘性摩擦とクーロン摩擦の違い

粘性摩擦とクーロン摩擦を分けて書かれているものをいくつかみつけましたがこの二つを分けて考える理由が分かりません。
粘性摩擦=動摩擦であっているでしょうか?
クーロン摩擦とはどういうものなのでしょうか?
助力をお願いします。

Aベストアンサー

粘性摩擦とは粘性係数ηを含み時間依存性の摩擦。例えばゆっくり引っ張った場合と、急に引っ張った場合では摩擦力が後者が大きい。

クーロン摩擦は時間独立の摩擦。ゆっくりでも急でも同じ。