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No.5ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.4へのコメントについてです。
まず訂正。
黄金比じゃなくて、x=2ですよね。毎度のことながらチョンボしました。たはは(^^;
さて、そもそも √(2+√(2+√(2+... という表現が何を意味するかという話について。
(1)「"√(2+●)"の●んところにそれ自身がイレコになって入ってる式」と考えたのでは、その式は無限に長い文字列になっちゃうので意味をなさない。つまり、√(2+√(2+√(2+...ってのは、式にあらざるもの。では、式でないのなら何なのか。
(2) 「漸化式
x[n] = √(2+x[n-1])
で表される数列のn→∞の極限」だと考えれば、ご質問にあるように、収束するかどうかが心配になる。いやいや、その前に、漸化式にするためにはx[0]を与えなくちゃいけない。x[0]なんか何でも良いのだとは言えないのは、試しにx[0]=-3を考えればわかる。だけど √(2+√(2+√(2+... のどこにx[0]について書かれているのか。この解釈も無理でしょ。
(3)「ソレは、√(2+x)という写像によって変化しない(だから何度写像をとっても変化しない)」という意味だ、という解釈なら成立します。つまり「写像
f(x) = √(2+x)
の不動点」ということです。fは連続な縮小写像ですから、不動点があるのは保証付き。で、その不動点xは、式にすれば、まさしくご質問にある通り、方程式
> x = √(2+x)
で表現できる。
No.3
- 回答日時:
>与式が発散しないことの証明
上に有界な単調増加数列は収束する、ってやつを使うのが一番簡単でしょう。
x=√(2+x) の解x=2 に対して、
√(2+√(2+√(2+... < 2
であることを、帰納法で証明すればよいです。
No.2
- 回答日時:
f(n+1) = √(2+f(n))
f(0) = 0
とすると漸化式は、n≧0で
f(n+1)*f(n+1) = 2 + f(n)
となる。
両辺をf(n+1)で除すると
f(n+1) = 2/f(n+1) + f(n)/f(n+1)
⇔
f(n+1)/f(n) = 1/(f(n+1) - 2/f(n+1))
ここで、n->∞のとき、f(n)->∞(発散)すると仮定すれば
1/(f(n+1) - 2/f(n+1)) -> 1/(∞ - 2/∞) -> 0
したがって
f(n+1)/f(n) -> 0 --- (1)
ところで
f(n+1)/f(n) = √(2+f(n)) / f(n)
= √(2/(f(n)*f(n)) + 1)
なので
n->∞のとき、f(n)->∞(発散)すると仮定すれば
f(n+1)/f(n) -> = √(2/(∞*∞) + 1) -> 1 --- (2)
(1)と(2)は矛盾し、仮定は否定される。
という手順でいいのでは?
数十年前に習ったことを思い返しながらの思索なので、もっと直接的な解法があるかもしれません。
pc上で数式を打つのはとても煩わしいのに、丁寧に解説ありがとうございます。
紙の上で数式を追ってみましたが、仮定法の最後 f(n+1)/f(n) = √(2/(f(n)*f(n)) + 1) というのは f(n+1)/f(n) = √(2/(f(n)*f(n) + (1/f(n))) ではないでしょうか?
私もうまく背理法で解ければいいと思っているのですが...
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