質問投稿でgooポイントが当たるキャンペーン実施中!!>>

数学の質問です。
問「√(2+√(2+√(2+... の値はなにか?」が分かりません。与式は根号の中に根号が無限に続きます(多重根号)。
解くだけでは与式をxとおいてx=√(2+x)の解を考えれば良いです。しかしこれは与式が発散しないことを前提に解いていると思われます。
従って与式が発散しないことの証明or他の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (5件)

ANo.4へのコメントについてです。


まず訂正。

  黄金比じゃなくて、x=2ですよね。毎度のことながらチョンボしました。たはは(^^;

 さて、そもそも √(2+√(2+√(2+... という表現が何を意味するかという話について。

(1)「"√(2+●)"の●んところにそれ自身がイレコになって入ってる式」と考えたのでは、その式は無限に長い文字列になっちゃうので意味をなさない。つまり、√(2+√(2+√(2+...ってのは、式にあらざるもの。では、式でないのなら何なのか。

(2) 「漸化式
  x[n] = √(2+x[n-1])
で表される数列のn→∞の極限」だと考えれば、ご質問にあるように、収束するかどうかが心配になる。いやいや、その前に、漸化式にするためにはx[0]を与えなくちゃいけない。x[0]なんか何でも良いのだとは言えないのは、試しにx[0]=-3を考えればわかる。だけど √(2+√(2+√(2+... のどこにx[0]について書かれているのか。この解釈も無理でしょ。

(3)「ソレは、√(2+x)という写像によって変化しない(だから何度写像をとっても変化しない)」という意味だ、という解釈なら成立します。つまり「写像
  f(x) = √(2+x)
の不動点」ということです。fは連続な縮小写像ですから、不動点があるのは保証付き。で、その不動点xは、式にすれば、まさしくご質問にある通り、方程式

> x = √(2+x)

で表現できる。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。
写像の考えには至らなかったです。確かに連続な縮小写像というのは自明ですね。

お礼日時:2015/08/26 21:16

証明にこだわるまでもなく、お書きの方程式の左辺と右辺をそれぞれxの関数だと思って、y = xとy = √(2+x)のグラフを描いてみれば、解があることは自明でしょ。

その解には「黄金比」という名前があります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。まず無限に続く与式をxと置くことに抵抗を感じました。
グラフは考えてみましたが、数学の証明になっているのかが微妙でしたので…。
あと黄金比は√(1+√(1+... ではないでしょうか。

お礼日時:2015/08/26 18:19

>与式が発散しないことの証明


上に有界な単調増加数列は収束する、ってやつを使うのが一番簡単でしょう。
x=√(2+x) の解x=2 に対して、
√(2+√(2+√(2+... < 2
であることを、帰納法で証明すればよいです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。納得しました。上に有界な単調増加数列は収束する を用いることは目からウロコでした。

お礼日時:2015/08/26 18:15

f(n+1) = √(2+f(n))


f(0) = 0
とすると漸化式は、n≧0で
f(n+1)*f(n+1) = 2 + f(n)
となる。

両辺をf(n+1)で除すると
f(n+1) = 2/f(n+1) + f(n)/f(n+1)

f(n+1)/f(n) = 1/(f(n+1) - 2/f(n+1))
ここで、n->∞のとき、f(n)->∞(発散)すると仮定すれば
1/(f(n+1) - 2/f(n+1)) -> 1/(∞ - 2/∞) -> 0
したがって
f(n+1)/f(n) -> 0 --- (1)
ところで
f(n+1)/f(n) = √(2+f(n)) / f(n)
= √(2/(f(n)*f(n)) + 1)
なので
n->∞のとき、f(n)->∞(発散)すると仮定すれば
f(n+1)/f(n) -> = √(2/(∞*∞) + 1) -> 1 --- (2)

(1)と(2)は矛盾し、仮定は否定される。

という手順でいいのでは?

数十年前に習ったことを思い返しながらの思索なので、もっと直接的な解法があるかもしれません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

pc上で数式を打つのはとても煩わしいのに、丁寧に解説ありがとうございます。
紙の上で数式を追ってみましたが、仮定法の最後 f(n+1)/f(n) = √(2/(f(n)*f(n)) + 1) というのは f(n+1)/f(n) = √(2/(f(n)*f(n) + (1/f(n))) ではないでしょうか?
私もうまく背理法で解ければいいと思っているのですが...

お礼日時:2015/08/26 16:53

その値がいくつかという問題を考える以前に


それが何を表すのか
は考えないんでしょうか?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。考えましたが、分からなかったので質問させて頂きました。
例えば求める値は漸化式 X(n+1)=√(2+X(n)), X(1)=2 の極限などです。

お礼日時:2015/08/26 16:36

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む


人気Q&Aランキング