空間上の曲線C(s)の微分について

微分幾何学の基本的なことを勉強しています。
「幾何学は微分しないと」(中内伸光著)で基本的な事柄から勉強しているのですが、その本に出てくるp81の(2)式にある式の2階微分がどのように計算すればよいのか、よくわかっていません。

具体的には、C'(s)=∂S/∂u･du/ds + ∂S/∂v･dv/ds　をどのように計算すればよいのかがよくわかっていません。
お教え頂ければ、大変有り難く存じます。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2015/09/03 13:37

Sが何なのかはご質問の記述だけじゃ分からんすね。

　もしかして、C(s)は2次元曲線で、sはこの曲線に沿った道のりであり、この曲線が乗っている面の座標系がu,vで表されているのかな。で、 dS/ds を計算している。
　ともあれ、(du/ds)とは「sがチョビっと動いたときuはその何倍変わるか」であり、(∂S/∂u)とは「vは一定のままuだけがチョビっと動いたときSはその何倍変わるか」。微分法の基本知識そのまんまです。
　この先を計算したくても、C(s)とSが何らか具体的に与えられていないとどうにもならない。たとえばCは C(s)=(u(s), v(s))のようにパラメータsのベクトル値関数、SはS(u,v)（uとvの関数）として表されていれば一番簡単。

この回答へのお礼

自分でもいろいろと考えていたため、ご返事が遅くなり、大変失礼いたしました。
自分の質問の記載が明瞭でなかったことに対しては、大変申し訳なく思っております。

いろいろとお教え頂いて、あんまりよくわかっていない部分が少し見えました。
本当に有り難うございました。

お礼日時：2015/09/07 12:41

No.2 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2015/09/05 09:02

あせらずに、式をよく見るべし。

見やすいように、d/ds を D で表すと

D(∂S/∂u･du/ds) = D(∂S/∂u)･du/ds + ∂S/∂u･D(du/ds)

でしょ？
∂S/∂u は u と v の関数なので、D(∂S/∂u) は C'(s) と同様。残りも同じ。


読んでハッとしたはず。

この回答へのお礼

読んで「はっ」としました。
有り難うございました。

お礼日時：2015/09/07 12:41