数学

問題をあやふやにしか覚えてないので文は少しおかしいですがお願いします。

12人のテストの結果があり、
そのうちの6人の平均は4点で標準偏差は3
もう６人は平均は8点で標準偏差は5でした。
①全体の平均はいくつか
②全体の標準偏差はいくつか

質問者からの補足コメント

• お察しいただけると思っていましたが…
  ①②の解き方を教えてください。

    補足日時：2015/10/07 17:27

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/07 17:03

問題は分かった.

で質問は?

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/07 19:38

「①全体の平均」はよくある問題なので、分かりますよね？

「6人の平均値」は、6人の得点N1～N6に対して
　　(N1 + N2 + ･･･+N6) / 6
で求めます。

　最初の6人の平均値Ave1は
　　Ave1 = (N1 + N2 + ･･･ +N6) / 6
残り6人の平均値Ave2は
　　Ave2 = (N7 + N8 + ･･･ +N12) / 6
で、求めたい「12人の平均値Ave3」は
　　Ave3 = (N1 + N2 + ･･･ +N12) / 12
ですから、
　　Ave3 = (Ave1 * 6 + Ave2 * 6 ) / 12　　（１）
で求まりますね。

　計算してしまえば、
　　Ave3 = (4点 * 6 + 8点 * 6 ) / 12
　　　　　= 6点
となります。

「②全体の標準偏差」はちょっと厄介ですが、きちんと定義どおりやればできます。
「標準偏差：σ」を二乗した「分散：σ^2」で考えます。
定義より、最初の6人の分散 σ1^2 は
　　σ1^2 = (1/6) * [ (N1 - Ave1)^2 + (N2 - Ave1)^2 + ･･･ + (N6 - Ave1)^2 ]　　（２）
残りの6人の分散 σ2^2 は
　　σ2^2 = (1/6) * [ (N7 - Ave2)^2 + (N8 - Ave2)^2 + ･･･ + (N12 - Ave2)^2 ]　　（３）
ということであり、求めたい全体12人の分散 σ3^2 は
　　σ3^2 = (1/12) * [ (N1 - Ave3)^2 + (N2 - Ave3)^2 + ･･･ + (N12 - Ave3)^2 ]　　（４）
ということです。

　正直に解いて行けば、（２）を展開して、
　　σ1^2 = (1/6) * [ (N1 - Ave1)^2 + (N2 - Ave1)^2 + ･･･ + (N6 - Ave1)^2 ]
　　　　　= (1/6) * [ N1^2 - 2*N1*Ave1 + Ave1^2 + N2^2 - 2*N2*Ave1 + Ave1^2 + ･･･ ]
　　　　　= (1/6) * [ (N1^2 + N2^2 + ･･･ + N6^2)
　　　　　　　　　　　- 2*Ave1*(N1 + N2 + ･･･ + N6)
　　　　　　　　　　　+ 6*Ave1^2 ]
　　　　　= (1/6) * (N1^2 + N2^2 + ･･･ + N6^2) - 2*Ave1*(N1 + N2 + ･･･ + N6)/6 + Ave1^2
　　　　　= (1/6) * (N1^2 + N2^2 + ･･･ + N6^2) - Ave1^2
同様に、
　　σ1^2 = (1/6) * (N7^2 + N8^2 + ･･･ + N12^2) - Ave2^2

　　σ3^2 = (1/12) * (N1^2 + N2^2 + ･･･ + N12^2) - Ave3^2

つまり、
　　σ3^2 = (1/12) * [ (σ1^2 + Ave1^2)*6 + (σ2^2 + Ave2^2)*6 ] - Ave3^2
　　　　　= (1/2) * ( σ1^2 + σ2^2 + Ave1^2 + Ave2^2 ) - Ave3^2

　これに値を代入すれば、
　　σ3^2 = (1/2) * [ (3点)^2 + (5点)^2 + (4点)^2 + (8点)^2 ] - (6点)^2
　　　　　= 21
よって
　　σ3 = √21
　　
（計算違いしていなければ）