真っ直ぐ流れる川の水

ヘルムホルツの定理によれば、任意のベクトル場は回転なしの場と発散なしの場に分解できるといいます。
そこで質問ですが、ヘルムホルツの定理により真っ直ぐ流れる川の水を分解するとどのように分解されますか。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/27 21:37

>rot grad Φ = 0

>div rot A = 0
>はただの恒等式じゃないですか。

そうですよ。だから

f = -gradΦ + rot A

の-gradΦは回転のないベクトル場
rot A は発散のないベクトル場です。

この回答へのお礼

結局答えは、

真っ直ぐ流れる川の水のベクトル　＝ f = -gradΦ = 100%回転のないベクトル場

ってことになりますか。
であれば納得です。
ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/27 23:06

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/27 20:11

＞川の水はほんとにまっすぐ流れているとします。

>完全に真っ直ぐ流れていれば回転はしていないはずだから回転量はゼロだし、
>真っ直ぐ流れているだけなら発散もしていないはずだから発散量もゼロのはずです。

であれば

f(x, y, z)=(1, 0, 0)
Φ=-x(スカラーポテンシャル)
A=0(ベクトルポテンシャル)
f = -gradΦ + rot A
rot grad Φ = 0
div rot A = 0

水は低きへ流れるというやつですね。

この回答へのお礼

＞水は低きへ流れるというやつですね。

それでその流れはヘルムホルツの定理により、回転なしのベクトル場と発散なしのベクトル場に分解できたのですか。

因みに、
rot grad Φ = 0
div rot A = 0
はただの恒等式じゃないですか。

お礼日時：2015/10/27 21:05

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/27 18:31

これは何を求めるのでしょう？

真っ直ぐな流れを流体カ学的に求めるところから始める？

それとも発散がなく、特定の方向のべクトルのみを含む
ベクトル場を想定？

後者なら例えば、 x軸が川の中心で、
y軸は川巾方向で、z軸が鉛直上方向とし、
川の中心で最も流速が大きくなるベクトル場を

f(x,y,z)=(1-y^2、0、0)


とすると、

div f=0

rot f=(0、0、2y)

φ=0 (スカラーポテンシャル)

A=(0、0、y-(1/3)y^3) (ベクトルポテンシャル)

ー般に水流方向に対して左側に船を浮かべると、
船は反時計方向に回ろうとします。
左右で流速が異なるので当然ですが、これが「回転(rot)」です。

この回答へのお礼

＞これは何を求めるのでしょう？


「ヘルムホルツの定理によれば、任意のベクトル場は回転なしの場と発散なしの場に分解できる」
まずこれが正しいか、私の勘違いなのか。

川の水はほんとにまっすぐ流れているとします。
完全に真っ直ぐ流れていれば回転はしていないはずだから回転量はゼロだし、真っ直ぐ流れているだけなら発散もしていないはずだから発散量もゼロのはずです。
しかし川の水は流れているのだから間違いなく流れは生じていて流量はゼロではありません。
ヘルムホルツの定理について何か読み違いがあったのでしょうかってゆー質問です。

お礼日時：2015/10/27 18:59

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/27 17:51

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9095725.html

この回答へのお礼

やっぱり。

お礼日時：2015/10/27 18:42