zが複素数のとき、つまり、z∈Cのとき、
皆さんはe^zをどのように呼んでいらっしゃいますか。
「eのz乗」ですか、あるいは、「イー・エックス・ピー z」、もしくは、「exponential・エクスポネンシャル z」と読んでいらっしゃいますか?
zが実数のとき、「eのz乗」と「イー・エックス・ピー z」は一致しますので、どちらでも構いませんが、
複素関数の時、この両者は違うものですから、皆さんはどのように読んでいらっしゃいます?
あるいは、べき乗の時はe^zで、指数関数の時はexp(z)といった風に、この両者を明確に区別して使っていらっしますか。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
質問を理解するのに時間がかかりましたよ!
べき関数なんて扱った経験がないからかもしれませんが(心の声:関数やったら関数って書けや)
最初の質問の答え:
私は、e^z は e の z 乗と呼んでます。エクスポネンシャル z と呼ぶのは exp(z) のときだけです。
w=exp(z) は指数関数で、断りがないときは w=e^z も指数関数ですね。指数が複雑になるときに exp() を使う印象があります。
べき関数 w=e^z といったら多価関数ですね。この呼び方も私は e の z 乗です。だいたい e^z をべき関数として見かけたことなんて一度もありませんけど・・・。
もちろん e^(1/3) なんかでは多価性を意識することはあります。
といわけで、「べき関数なになに」、指数関数のときは「なになに」しか書かない、が2番目の質問の答えになると思います。
最後の質問の答え:
べき関数 w=e^z なんてマイナーなのに、べき関数と指数関数とで記号を使い分ける必要性を感じません。答え2の区別でじゅうぶんでしょう。
無用な誤解を避けるために、「べき関数」と書けばよかったんですね。
反省です。
私も「べき関数e^z」を見たことがありません。
回答、ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
>指数関数e^zは(3)の意味の”eのz乗”ではない。
この文章からも、eのz乗 という言葉が、普段は実数のべき乗(e^z)
の意味で使われることが読み取れますよね。
でないと「(3)の意味の」と ことわりを入れる意図が
不明になります。
ひょっとして「(3)の意味の」を「(3)の意味である」
と読んでる?
定義2.2 C内の任意のz=x+iyに対して
e^z = e^x (cosy + i siny)
として、e^zを指数関数という(1)。
【脚注】
(1)指数関数e^zはe=2.718…のz乗とは別である。これを区別するために指数関数をexp(z)と書くこともある。ここでは習慣に従ってe^zと書く。なお(eのz乗)の定義は定義は2.4参照。ただし(1)のe^xはe=2.718…の実数z乗である。
(中略)
一般の複素数のべき乗については、次のように定義する。
w= z^α = e^(α log z) (z≠0)
これはαが正数でなければ多価である。e^(α Log z)をe^αの主値という。
(中略)
問7 e^zと「eのz乗」の差異を述べよ。
渡部隆一ほか著 複素関数 培風館
主値、分枝、値域の制限、解析延長などなど、さらに、指数関数exp(z)を
e^z = Σ (z^n)/n!
と定義して議論を進めるという話は知っているんですよ。
こうした話ではなく、
複素関数e^zを何と読んでいるか、これをどのように読むべきなのか、
そして、
皆さんはこれを何と読んでいらっしゃるのか、
これを知りたい。
No.3
- 回答日時:
>e**z = e^(z log e)
普通は z=a+bi として(a、bは実数)
e^z=e^a・(cos b + i・sin b)
4^0.5 は 2 で ±2 としないのと同じで
代表値を決め、多価関数は避けるのが-般的です。
回答有難うございます。
複素数のべき乗
aが正の実数、bが実数のときにはa^b=e^(b log a)が成り立つ。これを複素数の場合に拡張して、AとBを一般に複素数とするとき、AのB乗を
A^B=e^(B log A) = exp(B log A) (A≠0) (3)
によって定義する。ただし、0の対数は定義されないから、A≠0でなければならない。指数関数e^zは(3)の意味の”eのz乗”ではない。また、aが正数でbが実数の場合にも、(3)で定義されるa^bは実数の他に一般に種々の複素数値をとる。
広池和夫ほか著 応用解析学 共立出版
複素解析や応用解析ではこちらの方が一般的です。
No.2
- 回答日時:
eのz乗
>zが実数のとき、「eのz乗」と「イー・エックス・ピー z」は
>一致しますので、どちらでも構いませんが、
>複素関数の時、この両者は違うものですから
知らないなあ。どう違うのでしょう。
解答、ありがとうございます。
eのz乗をe**zで書くことにすると、これは
e**z = e^(z log e)
と定義することになるですが、複素関数においては
log e ≠ 1
ではなく、
log e = 1 + 2nπi (nは自然数)
となり、
eのz乗は複数の値を持つんですよ。つまり、多価関数。
zが整数の時はこの両者は一致しますけど、それ以外ではe^zはe**zの一つの値に過ぎない。
複素数のべき乗は
a**b = e^(b log a) (a≠0)
で定義されます。
そして、複素関数では、この値はa、bが実数であっても、一般に複数存在することになる。
実関数とはべき乗の定義が違うので。
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