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ゼロに何を掛けてもゼロだと習いました。
無限大に何を掛けても無限大だと習いました。それでは、ゼロと無限大を掛け算したら何になるのでしょうか?

A 回答 (19件中1~10件)

kamesenninさん、してはいけない質問???どころか、最も根源的なよい質問だとおもいます。



このような事柄については、数学に捕らわれない哲学者の意見を聞かないと解らない問題なのかもしれません。

kamesenninさんが学生の方かどうかは判りませんが、私が大学にはいってい一番驚いたのが数学で、このような問題に目が眩み

もちろん一般教養だけで逃げ出しましたが、奥が深そうです・・・むしろ文科系哲学科の方に聞いてみてはいかがでしょう!
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kamesenninさん <


> してはいけない質問をしてしまったのでしょうか?
してはいけない、なんてことありませんよ。余談ばかりの芳しくない回答が多すぎるだけのことです。ご質問はごく簡単な数学の話です。訳の分からない回答は無視なさるのが賢明かと思いますよ。

一方、回答なさる方々には、是非下記URLをじっくりご覧になって戴きたいものです。

●「ゼロと無限大を掛け算したら」に対する回答は以下の2つしかない。
A. 「高校程度までに習う数学では、ゼロと無限大は掛け算できません。無限大は数ではなく、掛け算は数同士でしかできないからです。
 余談ながら:ゼロと大きな数xの掛け算はできます。xをどんどん大きくしていった極限を考えることができ、これをx→∞とあらわします。そのときに、0とxを掛け算したもの 0 x の極限がどうなるかというと、x→∞のとき、0 x →0になる。(なぜなら xがどんな数であれ、0 x = 0 だからです。)これを
lim 0 x = 0
x→∞
と書きます。でもこれは、ゼロと無限大の掛け算そのもの
0( lim x) = ?
  x→∞
とは別の話です。」

B. 「もうちょっと進んだ課程で習う数学では、ゼロと無限大(である数’)を掛け算することができます。その答はゼロです。」

 これで全部です。余談を除けば「論争」の余地などありません。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=41824
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無限大に0をかける


lim n*0=0
n→∞
です。
しかし
無限小*無限大であれば
lim a*b
(a,b)→(0,∞)
定まりません。

Eivisさんのいう
>ゼロと無限大を同時に共有するような[漠]とした何かでしょう!

この回答への補足

だんだんと頭が混乱してきました。色んな答えがあるし、何を言っているのかわからないような答えもあります。してはいけない質問をしてしまったのでしょうか?

補足日時:2001/06/17 12:30
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#2.の発言者ですが一晩寝ている間に論争に熱が入っているようですが「数学の問題」と考えるのは根本的に間違いだと思います。



無限大の世界には無限大以外のものはなく、ゼロの世界にもゼロ以外のものはなく・・・ゼロでさえも存在しないかもしれません。

この世界では一切の数学記号めいたものはと無縁で「漠:バク」の境地としか云いようがないと言うのが私の考え方なのです。

あえて表現すれば「無限漠」と「虚無漠」とでも云えるかも知れません。

回答者の皆さんのどの説を信じるかは、kamesenninさんの専攻学科によると思いますが興味津々です。
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素朴に思に思ったのですが、質問者の方の疑問点は、



lim a_n = ∞
n→∞
かつ
lim b_n = 0
n→∞
の時、
lim a_n * b_n = ???
n→∞

ではなくて、

lim a_n * lim b_n = ???
n→∞   n→∞

に思われているような気がしましたが、
結局答えは0でいいんですよね?
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失礼ながらcrimsonさんの論法には同意いたしかねます。



[1] 無限大が数(実際は数’としなくてはなりません)であると仮定するまでは良いのですが、それだけでなく「無限大はただひとつしかない」という事までいつの間にか仮定しちゃってます。つまり、crimsonさんは
×「無限大が数であると仮定すると矛盾する」
ということは証明しておらず、代わりに
○「無限大(であるような数’)に関する計算を考える以上は、無限大(であるような数’)はただひとつ存在するのではなく、無限個ある。」
ということを証明なさっているんです。

 いろんな無限大(であるような数’)があって良いので、たとえば二つの無限大であるような数’aとb (a≠b)があって、
1×a=a
2×a=b
しかし
1×a≠2×a
ですから、何の矛盾も起こりません。

[2] 論理学の方は、ブール代数の類推で話をされているようですが、残念ながら誤りです。
> 「存在する」という状態に対し、「∞」は「真」で、
> 「ゼロ」は「偽」となります。
ここまでは『存在』という言葉を導入しただけの事。きちんと書けば、S(x)を「xが『存在』する」という意味の命題として
S(∞)=真
S(0)=偽
ここで言う『存在』とは、crimsonさんが作った言葉に過ぎませんので、普通の「存在」を意味してはいません。だから「S(∞)=真で、S(0)=偽だ」と言われても「はあ、そうですか」としか言いようがないんですが、

> そして、論理上の積は両方の要素が「真」同士でなければ
> ならないので、この場合の結果は「偽」となります。
これは間違いです。もとより
S(0× ∞) = S(0) ∧S(∞) <---(間違い)
などという展開はできません。


[3] 
> 数学的に言えば この問題は成立しません。
超準解析は数学ですし、広く使われていて、決して特殊なものではありません。数学的に「無限大」を正しく扱う方法は知られています。(もちろん「無限」はそう簡単には扱えませんが。)
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「無限大」というのは数値ではないので掛け算も割り算もできませんよ。


とんでもなく大きい数でも、それは数値であって「無限大」ではないです。
よって「無限大に何を掛けても無限大」というのは間違いです。

「数値対0(ゼロ)」を考えたとき、この「数値」がどんな数値でも答えは
ゼロです。(とんでもなく大きい値の数値でも、です。しかしそれは「無限大」
という言い方はしません)

ただし、数学には「極限」という世界があります。
taropooさんが解説なさってるようなものです。
例えば「x→∞」のときの「lim 2x」を求める場合、xが無限大に向かって
いれば「lim 2x=∞」です。これを「無限大に何を掛けても無限大」という
表現をしたのではなかと推測されます。

ちなみに「ゼロ÷ゼロ」は数学的におかしい式なので答えはありません。
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色々と調べ直してみたのですが、結局のところtaropoo


さん以降の方がおっしゃられている通り、数学的に言えば
この問題は成立しません。

まず、「無限大」について、思いきりぶっちゃけた話を
しましょう。
仮に、これは“数”である、と仮定します。そうすると、

1×∞=∞ …は正解ですね。
2×∞=∞ …も正解。
しかし、
1×∞=2×∞
だとして、両辺を「∞」で割った
1=2 …は成立するでしょうか?

…と、このような矛盾が生まれてしまうのです。
よって、「∞」は“数”として存在できません。

ただし、論理学の場合だと事情が異なります。
「存在する」という状態に対し、「∞」は「真」で、
「ゼロ」は「偽」となります。
そして、論理上の積は両方の要素が「真」同士でなければ
ならないので、この場合の結果は「偽」となります。

つまりこの問題は、

数学的答え…(不成立)
論理学的答え…ゼロ

という事になります。
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質問された方も混乱しているようですね(^^;



いきなり専門的なことで説明しても理解できるかどうかというのがありますので、まずはkamesenninの数学で理解しているレベルをお知らせください。

中学生レベルなら完璧とか、高校生レベルまでとか、大学レベルまでとか。

どうも返答をみていると根本的な説明から始めた方がよいと思います。
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taropooさんと概ね同意見です。

無限大に関しては過去の質問にも何度か出てきていますから検索してみてくださいね。
 繰り返しになりますが、
●「無限大」とは性質であって、数じゃない。だから「無限大をかけ算する」は何も意味しない。

 普通の数(自然数や実数や複素数などなど)については以下のことが言えます。
●「無限大」という性質を持つ数はない。
●かけ算、わり算は数についてだけ定義されているから、「無限大である数をかけ算する」と言い直しても、やはり何も意味しない。

 初学的にはこれで十分であり、強いてその先を追求すれば、taropooさんの仰るように極限の概念を持ってくるしかないと思います。

 しかし「超準解析学」(無限小解析とも言います)においては、極限を使わなくても無限大や無限小が扱えるようにするために、数の概念を拡張した「数’」を考えます。数’について加減乗除、絶対値、大小関係などが普通の数と同じように定義されていて、
●普通の数はみんな数’である。これらは有限の数’(無限大でも無限小でもない数’)である。
●数’が普通の数である場合、その加減乗除、絶対値、大小関係などは、普通の数学と全く同じである。たとえば、どんな数’に0をかけ算しても、答は0です。また、どんな数’も、それを0でわり算することは禁じられている。
●無限小である数’が無限個ある。
●xを無限大である数’とするとき、1/x は無限小である数’である。
●yを無限小である数’とするとき、1/y は無限大である数’である。
●(普通の数)+(無限小である数’)は有限の数’であるが、普通の数ではない。
などの性質を持っています。
 普通の数学で扱う(絶対値が小さい)数と、無限小の数’とは全然違うものであることにご注意下さい。
どんな普通の数よりも0に近い数’が無限小の数’です。これにどんなに大きな普通の数をかけ算しても、答は無限小の数’です。
 そして無限小の数’の逆数が無限大の数’である。これはどんな普通の数よりも絶対値が大きい。どんなに小さい普通の数をかけ算しても、答は無限大の数’である。(分からない?そりゃ誰だって分かりませんてば。)
 さて、こういう超準解析の数’の世界において
★無限大の数’xに0をかけ算するとどうなるか。これは0になります。
★無限大の数’xに0でも無限小でもない数’をかけ算すると、無限大の数’になります。従って、xに、無限大の数’yをかけ算すると、これも無限大の数’になります。
★しかし、無限大の数’xに無限小の数’εをかけ算すると、それらが何かによって、無限小の数’になったり、有限の数’になったり、無限大の数’になったりします。
★数’xについて、x÷0は何も意味しません。

この回答への補足

単純な質問だと思ったのですが、とんでもない事になってしまったようです。何か、地獄の釜が開いたような気分になってきました。無限というものは奥が深い。

補足日時:2001/06/17 12:27
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