数学の問題です2問になります(1)2x^2−2xy+y^2＝1この曲線の囲む図形の面積を求め

数学の問題です
2問になります

(1)2x^2−2xy+y^2＝1
この曲線の囲む図形の面積を求めよ

(2)曲線x^2/3+y^2/3＝1の接線とx軸y軸で囲まれた三角形の面積の最大値を求めよ

(1)の方は左辺を平方完成してy＝の形にしたのですが途中で分からなくなってしまいました。そもそもこの考え方あってますか？
(2)はお手上げです。

途中式もあれば有難いです。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2015/12/30 21:19

ヒントを追加。

(1) はあなたのやり方でできます。

y^2-2xy+2y^2-1=0

y は実数　→　-1≦x≦1.

２つの曲線に分ける　→　y=x±√(1-x^2)

この２つは互いに端点 (-1,-1) と (1,1) でつながっている。

f(x)=x+√(1-x^2) 、g(x)=x-√(1-x^2)　とおくと、f(x)-g(x)=2√(1-x^2)≧0 から、y=f(x) は y=g(x) の上側にある。

あとは囲まれる部分の面積を求めるだけ。

∫[-1→1]{f(x)-∫g(x)}dx

半円が見えます。


それと別解になるけど変数変換も上記過程のなかに見えます。変数変換の方がトレビアンです。
この変換を図形的に述べるなら、平面を縦線の集合とみるとき、それらは x の値に１対１に対応しますが、縦線を x の値だけ下げるという変換をすると単位円になるというものです。この変換は面積を変えません。


(2) No.2 に書いてある方針のあらすじ。
xを-xに置き換えても方程式は不変→曲線は y 軸対称
yも同様。よって第一象限だけで考えればよい。
x=(cosθ)^3 、y=(sinθ)^3 が式を満たす。
0≦θ≦π/2 で単射で連続、θ=0 のとき (1,0) 、θ=π/2 のとき (0,1) .
パラメーター表示を得たので接点とし、接線の切片を求めればあとはカンタン。実際、両切片はシンプルになる。
傾きは dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ) で求めるとよい。
(1,0)や(0,1)は極限をとって接線がy軸やx軸に重なるから無効とする（←いらないかも）

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/24 23:55

(1) は楕円だから長半径と短半径を求めればいい.

(2) は曲線上の点をパラメータ表示して「接線とx軸y軸で囲まれた三角形の面積」を最大化する.

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2015/12/24 02:02

（２）の式は

(x^2)/3＋(y^2)/3=1
だろうか。

x^2+y^2=r^2
この式が何を示しているのか理解できていれば…。
これが理解できていないため問題を解けなくなっているのだろうと思います。

…中心座標が（0,0）にある半径rの「円の方程式」です。
円の中心が(a,b）にずれた時は
(x+a)^2＋(y+b)^2=r^2
になります。

さあ、解くための最大のヒントを示しました。
もう少しだけ考えてみてください。
意外とあっさり解けたりするものです。
がんばれ。