高校数学 数学III 教科書傍用問題に、「2x^2+2xy+y^2=1で囲まれた面積を求めよ」という

高校数学 数学III


教科書傍用問題に、「2x^2+2xy+y^2=1で囲まれた面積を求めよ」という問題が出てきました

授業では、yについての2次方程式とみてyについて解き、そこから面積がπと求まると解説されました
また先生曰く、
2x^2+2xy+y^2=1が示す図形は、楕円を原点中心に何度か回転させた図形になるそうです

そこで、面積はπと求まったので、回転前の楕円は原点中心で半径1の円を押しつぶした形になるかなあと思い、回転前の楕円の方程式と、回転角を求めようとしましたがうまくいきませんでした

また、2x^2+2xy+y^2=1の面積を媒介変数表示を使って出せるかやってみたものの上手くいきませんでした

問題集には2x^2+2xy+y^2=1の概形が描かれていたし、おそらく微分を使えば自力で概形を描くこともできると思いますが、
パッと方程式だけ示された時に概形がないまま解けなそうだし、もし媒介変数表示が使えるならそっちで面積を求める方が楽そうだなあと思いました

なので、
①2x^2+2xy+y^2=1の回転前の楕円の方程式の求め方
②2x^2+2xy+y^2=1に媒介変数表示を用いる方法
が分かる方がいらっしゃれば教えてください
また、こういう問題の1番良い解法はやはりyについて解く方法なのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2017/07/25 11:10

発展的話題に自主的にチャレンジなさって、大変結構なことです。

ご質問の一つ目は：
　原点を中心に角度θだけ回転した座標系
　　X = x cosθ - y sinθ
　　Y = x sinθ + y cosθ
において、ご質問の方程式が楕円
　　(X/a)^2 + (Y/b)^2 = 1
という格好になるという話。
　「具体的にそういうθ, a , bは何だ？」って問題を解くには、単に手を動かすだけです。X, Yを展開してx,yの式に書き換え、係数をご質問の方程式と比較すれば、tanθがどうならなきゃいかんか、という条件が得られ、さらに定数a,bが決められる。
　さて、この楕円は「単位円を描いておいて、X方向・Y方向にそれぞれ伸ばすか縮めるかしたもの」に他なりません。すなわち、円の面積さえ知っていれば、ご質問の楕円の面積を計算するのに積分なんざ全く必要ない、ということ。
　何が
> 1番良い解法
かどうかは「良い」の意味によりますが、美しさから言えば、積分使わない方がカッコいい気がする。

　媒介変数の話の方は、「楕円積分」で調べてみるといろいろ出てきますよ。

No.5 回答者： GBde 回答日時： 2017/07/30 11:43

此れは　有理曲線で　例えば　↓の媒介変数表示可能；

　p={(t (2 + t))/(2 + 2 t + t^2), (-2 - 4 t - t^2)/(2 + 2 t + t^2)}
　で
　p[[1]]*D[p[[2]], t] - p[[2]]*D[p[[1]], t]
% // Simplify
(1/2)*Integrate[%, t]
　　　　　で　↓を　ゲット；　
　　2/(2 + 2 t + t^2)
　●　ArcTan[1 + t]
　　t->∞で　Pi/2
　　t->-∞で　-Pi/2
　　上KARA下を　引き算し　Pi。
　　
　　youtube KARA　で　ググって　下さい；

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/07/24 22:32

長軸 √(5/2) 短軸 (√56)/5 の楕円をcos(ーarctan2) ,sin(ーarctan2) したものが、

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/07/21 22:09

斜め楕円のyou tubu ！
方程式から置換積分の方法と回転行列にて求める方法の解説！参考に！

No.1 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/07/21 17:55

http://examist.jp/mathematics/quadratic-curve/ni …

楕円の回転についてはこちらを参照してください。