有理コーシー列による実数の定義について

有理コーシー列の同値類による実数の定義について、いまいちよく分かりません。この定義では、有理コーシー列がとにかく何らかの値に収束することが大前提になると思うのですが、このことはどうやって保証されるのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• ＞回答 No. 2
  
  なんとなくわかってきました。元々の実数のコーシー列の収束に関係なく、有理コーシー列を実数に見立てたモデル内ではコーシー列の収束が証明されるというだけで、元々の実数のコーシー列の収束とは関係ないということですね。

    補足日時：2016/01/06 22:48

No.1 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2016/01/05 11:55

> 有理コーシー列がとにかく何らかの値に収束することが大前提になる

これが間違っています。有理コーシー列の同値類による商集合を扱っているので、収束を前提にはしていません。
商集合の元を収束先として扱っても矛盾が生じないということで最終的にはこの商集合が実数として扱われるというだけです。

この回答へのお礼

なるほど。誤解してました。ありがとうございます。

もう一点、質問させてください。テキストには、「実数のコーシー列は実数に収束する」ということを連続の公理として使えるというようなことが書いてあります。一方で、有理コーシー列の商集合として実数を定義すると、この公理が証明できてしまいます。これは有理コーシー列が実数に収束するものと扱っているからと考えてよいでしょうか。

お礼日時：2016/01/05 12:50

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2016/01/05 14:48

ANo.1へのお礼で書かれた追加質問について。

実数の公理と、その公理を満たすモデルの構成を混同しているのではないかと気になります。
実際、有理コーシー列の商集合は実数のモデルになるので連続の公理も満たしますが、証明が間違っていないか良く確認した方が良いでしょう。

この回答へのお礼

実数のコーシー列を「有理コーシー列」の列に見立てて、それの極限が実数、すなわち有理コーシー列になることをモデルの中で示しているように読めます。

お礼日時：2016/01/05 15:36