皆さん次のようなゲームはご存知ですか。「2人でゲームをします。3以下の数を言っていって、30と言った人がまけです。」というものです。この必勝法が、「25と言った人が勝ち」というのは分かっているのですが、似たような問題が解けないので質問させて下さい。
「同じように2人でゲームをします。21個の石があるとし、21から3以下の数を言って石の数を減らしていきます。最後の石を取った人が負けです。このゲームに勝つ必勝法はなんでしょうか?また、このゲームを一般化しましょう。(例えば、このような数の時はn以下の数を言うetc)。
出来れば答えだけでなく、算数的な仕組みも教えて下さい。よろしくお願いします☆
No.1
- 回答日時:
最初の石の個数をM、一度に取れる石の最大の数Nとしたときの必勝法は、
まずM個の石を、最後の1個と、(N+1)個ずつのグループと、N個 以下の余りに分けます。
先手は、N個以下の余りの部分を全部取ってしまいます。すると後手は、どれかの(N+1)個のグループ中から何個か取ることになります。
最大N個までしか取れないのだから、(N+1)個のうち何個かは必ず残ります。
また先手の番なので、(N+1)個のうち残った分をすべて取ります。
このようにすると、常に先手の番で一つのグループがなくなります。
結局、最後の1個を残して石がすべてなくなるので、後手が最後の1個を取らなければならなくなります。
つまり、最初に「余り」の部分を取ってしまえば、先手必勝でです。
ただし、最初に石を分けたときに「余り」の部分がないと、先手の方がどれかのグループから取らなければならないので、後手必勝になります。
この回答への補足
つまりこういうことでしょうか。
「この場合、21を20と1に分ける。20をn+1ということで4つの塊に分ける。例えば相手が1,2と言ったら自分は3,4と答てあまりを作らないようにする。(4の束にそろえる)」
こう考えるとn+1にそろえる後手の方が勝つのではと思うのですが、私の解釈間違ってますか?
No.2
- 回答日時:
#1です。
解釈は合っています。
下に書いたとおり、
「ただし、最初に石を分けたときに「余り」の部分がないと、先手の方がどれかのグループから取らなければならないので、後手必勝になります。」
なので、総数21個、とれる最大数3個の場合は、後手必勝です。
(ただし、相手もこの法則を知っていた場合・・・)
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