カントール集合が連続体濃度を持つことについて

カントール集合はその要素が、m/3^ｎの形で表せるのだからどう考えても有理数であり、連続体濃度を持つとは考えにくいのですが。

質問者からの補足コメント

• 

  疑問点が明確化してきたので改めて提示します。
  
  １、真ん中1/3を抜き去るという作業で残るのは3の累乗を分母に持つ有理数の集合では無いのか？
  ２、無限小数のそれも進数表示の違うものを置換できるのか？
  
  １の方が重要です。いい例えを思いつきました。0から1の間を十分割して打点をする。その間を更に十分割して打点をする。この作業を無限に繰り返す。こうして出来た点の集合は、小数点以下が0から9までのすべての数字を取りうる10進無限小数表示として表せる。これは、あらゆる無限小数を表示することが可能なのだから、√2＝0.141421356・・・ももちろん表せる。なのでこの集合は無理数も含めた実数全体（0から1の間の）とみなせる。どうでしょうか。この詭弁と今までの話の根本的な相違点はどこでしょうか？
  ２は・・・文字数が足りない。今までのコメをご参照下さい。でも１の方が優先です。おねがいします。

    補足日時：2016/05/20 07:47

• No.10により、0と2だけの３進無限小数はm/3^ｎではすべてを表せないということはよく分かりました。ただ「とりあえず「真ん中1/3を抜き去るという作業で残る」のが, 「3進法で書いたときに 0 と 2 しか現れない数」であることはよいでしょうか? 」ここです。あまりよくないです。補足1の疑問点1で示した詭弁もそうなんですが、私の中には有理数＝分割して得られる数、無理数＝分割では得られない数というイメージがあります。しかしこれが間違いで、私が例として出した詭弁の集合もカントール集合と同じく無理数を含んでいるということなのでしょうか？（つまり詭弁ではない？）上の疑問点1を書き換えます。１´、真ん中1/3を抜き去るという作業で残るのは0と2だけの３進無限小数で本当に良いのか？私の出した詭弁は詭弁ではないのか？分割で無理数が得られるのか？

    補足日時：2016/05/21 10:36

• すみません。詭弁の√2＝0.141421356・・・は√2/10＝0.141421356・・・として下さい。

    補足日時：2016/05/21 10:55

• あらたな疑問点では無く、ここで改めて自分なりにカントール集合を表現してみようと思います。
  
  　カントール集合： 閉区間 [0, 1] の線分に対して、ある操作を無限に繰り返して作られる集合。その操作とは「線分を3等分した真ん中を開区間で抜き取る」。 n回目操作後の集合を Cn とすると以下のようになる。
  
  C0 = [0, 1]
  C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 3/3]
  C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 9/9]
  C3 = [0, 1/27] ∪ [2/27, 3/27] ∪ [6/27, 7/27] ∪ [8/27, 9/27] ∪
  　　 [18/27, 19/27] ∪ [20/27, 21/27] ∪ [24/27, 25/27] ∪ [26/27, 27/27]
  …………
  
  ≪ 続く ≫

    補足日時：2016/05/28 16:01

• ≪ 続き ≫
  また、n回目操作後に集合の要素として決定したものを、10進法と3進法で表すと以下のようになる。
  
  C0　0 = 0
  　　1 = 0.22222222……
  C1　1/3 = 0.02222222……
  　　2/3 = 0.2
  C2　1/9 = 0.00222222……
  　　2/9 = 0.02
  　　7/9 = 0.20222222……
  　　8/9 = 0.22
  C3　1/27 = 0.00022222……
  　　2/27 = 0.002
  　　7/27 = 0.02022222……
  　　8/27 = 0.022
  　　19/27 = 0.20022222……
  　　20/27 = 0.202
  　　25/27 = 0.22022222……
  　　26/27 = 0.222
  …………

    補足日時：2016/05/28 16:15

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/05/17 15:56

>>要素が、m/3^ｎの形で表せる

カントル集合は３進集合で，これに属する点は３進無限小数では０と２だけが現れる無限小数全体。

この２をすべて１に置き換えると，この集合は０と１だけが現れる無限小数全体と１対１に対応し，これは区間 [0, 1] の点の２進表記を与えますから，要素の数は自然数の濃度をχ０とすれば２^（χ０）。
これは実数の濃度ですね。

実数の濃度χ１＝２^（χ０）ですから・・・。

この回答へのお礼

確かに理屈上はそうです。しかしですね、無限小数というのは現今の数学体系では1.000・・・と0.999・・・が原理的に区別不可能な訳ですよね。0と2だけの３進無限小数を、0と1だけの2進無限小数に置き換えて、区間 [0, 1] のすべての点と対応が付くんだから実数全体とも対応がつくという論法には論理の飛躍がないでしょうか？
対角線論法も無限小数を扱ったものですが、やはり何か詭弁に思えて仕方ありません。無限小数をあのように扱って本当に大丈夫なのでしょうか。

お礼日時：2016/05/17 16:54

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/05/17 17:29

>>論理の飛躍

半分同感。
円周の長さを計算するのに、区分求積で良しとしたギリシャの数学者、
1,2,3,4,5・・・を二乗した1,4,8,16,25・・・えお永遠に対応が付くのだから、両方とも個数は同じとしたカントール、同じ数とは考えなかったガリレオ。
賢明な諦めが現代数学の崇高な論理の根底に有ります。
「賢明な諦め」と言う崇高な思想のお陰で、無限集合論や解析論が成り立っています。微分積分も同じ。数学は全部同じ。

この回答へのお礼

再びおはやいご回答ありがとうございます。「賢明な諦め」ですか。面白そうなお話だとは思うのですが、私の現段階の関心は、カントールの集合論における無限小数の扱い方の是非（正しい、間違っているというよりも、数学体系全体の中で真に他との整合性を保っているのか？）にあります。「賢明な諦め」ということでいえば、1.000・・・と0.999・・・も「賢明な諦め」と言えるんじゃないでしょうか。

お礼日時：2016/05/17 18:03

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/17 18:15

「カントール集合の要素は有理数」と, なぜ言い切れるのでしょうか? 例えば

0.02002000200002000002... (2 と 2 の間の 0 は 1個ずつ増えていきます)
はカントール集合の要素でしょうか, そうではないでしょうか? そしてこの数は有理数でしょうか, それとも無理数でしょうか?

この回答へのお礼

>「カントール集合の要素は有理数」と, なぜ言い切れるのでしょうか?
カントール集合はその要素が、m/3^ｎの形で表せるから。という表現で提出しました。また、直感的に真ん中1/3を抜き去るという作業で残るのは3の累乗を分母に持つ有理数の集合であるのは想像に難くないからです。

ご提示された数字は　Σ[∞,k=1]2/3^(n^2+3n/2)　でよろしかったでしょうか。有理数です。
カントール集合の一般項は知りません。おそらく違うでしょう。

お礼日時：2016/05/17 19:38

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/05/17 22:50

No.2の続き

文章で書いても折り合いが付かないので、これで終わりとします。

カントール集合の要素の表現は、おっしゃる通りm/3^ｎの形で、nやmは加算個の無限集合。
それは要素の現し方であって、そういう要素が幾つあるかは別問題。
m/3^ｎの形である事を理解しうる研鑽をしたのだから、後は発想の転換では無いですか。

加算個の無限集合の要素を使ったベキ集合の濃度は、元の集合の濃度より真に濃いのだから、それと同じ発想力の問題だと思いますよ。

要素の現し方と、そうやって現した要素の個数は別次元の問題だという事ですね。

この回答へのお礼

>要素の現し方と、そうやって現した要素の個数は別次元の問題だという事ですね。
そうなんですか・・・・・・。

お礼日時：2016/05/18 11:22

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/18 00:03

確認したいんだけど, この質問文にある「カントール集合はその要素が、m/3^ｎの形で表せるのだから」の m や n は整数と思って

いいんだね?

この回答へのお礼

はい。

お礼日時：2016/05/18 11:05

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/18 08:17

あとついでに確認.

「無限小数をあのように扱って本当に大丈夫なのでしょうか。」について
・「あのように」とは「どのように」なんでしょうか?
・「本当に大丈夫なのでしょうか」はなにを不安に思っているのでしょうか?

この回答へのお礼

私にはカントール集合は、稠密的ではない離散的な有理数の集合（分母が3の累乗の）に見えます。で、これの３進無限小数表示を、2進無限小数表示に置き換えれば、区間 [0, 1] のすべての点と１対１対応がつくという理屈。この「１対１対応がつく」ここが信じられない。無限小数表示をこのように置換できる、絶対的な根拠とまではいかなくても数学史的な積み重ね、裏付けはどうなっているのか。これは、自然数nと偶数2nが１対１対応が付くというのと質の違う話のように感じます。

お礼日時：2016/05/18 11:05

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/18 12:29

1/4 を「m/3^ｎの形」でどうあらわすんだろうと悩みつつ (「m/3^ｎの形で表せる」というのは, この形の分数 1つで表現できるって意味だからねぇ).

0以上 1以下の実数を
0.なんとかかんとか
という形で 2進小数表示した (1 は 0.111... と表すことにする) とき, これと
全てが 0 または 1 であるような無限数列 { a_n }
とが 1対1 に対応することは分かりますか?

No.8 回答者： uyama33 回答日時： 2016/05/18 15:01

区間 [0,1] 内の実数 x がカントール集合に属する ⟺

⟺
x の三進数展開に 1 が登場しない

ですから、

このカントール集合の要素は
m/3^ｎ　　（m、ｎは整数）
と表現することができるものと
このようには表現できないものがあります。

たとえば、
0.0202と3進数で書いた場合は
0+0/3＾1+２/3＾2+0/3＾3+2/3＾4
＝（0+2*3＾2+2*3＾1+0*3＾1+2）/3＾4
＝（0+18+0+2）/3＾4
＝20/3＾４
確認
20＝18+2＝2*3＾2+2＝0*3＾3+2*3^2+0*3^1+2*3^0
20/3^4=0/3^1+2*3^2+0*3^3+2*3^4
となるので、
3進数でかけば、有限な小数
0.0202
です。

しかし、無限に続く場合で循環しないものは無理数なので
m/3^ｎ　　（m、ｎは整数）
とは書けません。
たとえば、
0.202002000200002....
や
0.2002000020000002....
などです。
これらは、無理数であり、しかも三進数展開に1が登場しないので
カントール集合に属します。

このような無理数の部分を無視しているので変な結論になっているのだと思います。

この回答へのお礼

＞しかし、無限に続く場合で循環しないものは無理数なので
＞m/3^ｎ　　（m、ｎは整数）
＞とは書けません。
＞たとえば、
＞0.202002000200002....
＞や
＞0.2002000020000002....
＞などです。
＞これらは、無理数であり、しかも三進数展開に1が登場しないので
＞カントール集合に属します。

はあ、そうなんですか。ご提示された無限小数も規則性があるので、Σを使って定式化できそうですが、有理数ではないんですね。
ということは、お返事が特になかったんですが私が下で示した Σ[∞,k=1]2/3^(n^2+3n/2) も無理数なのかな？
「直感的に真ん中1/3を抜き去るという作業で残るのは3の累乗を分母に持つ有理数の集合」という訳ではないんですね。

お礼日時：2016/05/20 07:03

No.9 回答者： uyama33 回答日時： 2016/05/20 07:35

Σを使って定式化できることと、有理数であることは別のことです。

有理数は、整数を自然数で割った形（整数/自然数）として表現できるものです。

特に、　m/3^ｎ　　（m、ｎは整数）
は有理数であり、
ｍ　を　20＝0*3＾3+2*3^2+0*3^1+2*3^0
としたように、3のべき乗をもとにして表現すればすぐに分かりますが、
m/3^ｎ　は有限小数を表します。（無限小数で表示した場合は循環する形になります。）

カントール集合には、
循環しない無限小数も含まれます。
このようなものが、Σを使う式で書けたとしても、
それが最終的に（整数/自然数）の形にならなければ有理数ではありません。

無理数を除外すれば、残りは有理数の一部ですから、連続体濃度は持ちません。

※　有理数の表現形式についてはスミルノフの高等数学教程　にしたがっています。

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/20 13:33

とりあえず「真ん中1/3を抜き去るという作業で残る」のが, 「3進法で書いたときに 0 と 2 しか現れない数」であることはよいでしょうか? (ここがダメだと話が進まないともいう)

その上で
・1/4 を 3進法で書いてみてください.
・1/4 を「3の累乗を分母に持つ有理数」で書けますか?

あと「√2＝0.141421356・・・ももちろん表せる」ってどういう意味だろうか.

この回答へのお礼

＞あと「√2＝0.141421356・・・ももちろん表せる」ってどういう意味だろうか.
たくさんご回答していただいていて大変心苦しいのですが、私のコメントを精読した上でお答えください。
私が例として出した詭弁の内容にこのように引っかかられても……。

何故、1/4 を 3進法で書かなければいけないのか知りませんが…。無限小数表示なら表せるが、分数表示では無理だということがおっしゃりたいんでしょうか？もし、表わせたとして0.0abcd……が、a/9+b/27+c/81+d/243+……に対応するだけじゃないでしょうか？
あと、少なくともカントール集合は真ん中抜き去ってんだから、1/2は含まれてませんよね。カントール集合の３進無限小数表示が区間 [0, 1] のすべての点を表せる訳ではないというのは大丈夫ですよね？

ps. 計算が終わりました。1/4は3進法では0.02020202……です。この循環小数を分数の形であらわすなら、3進法の202/2222です。10進法では1/4なので、m/3^ｎの形では表せないのでしょう。

お礼日時：2016/05/20 17:10