これくらいの問題は大体2、3分で解きますよ！

【問題】
a=(sin(π/5))^2、b=(cos((2/5)π))^2 とおく。このとき、以下のことが成り立つことを示せ。

(1) a+b と ab は有理数である。

(2) 任意の自然数 n に対して、((a^(-n))+(b^(-n)))(a+b)^n は整数である。



【質問】
標準的な大学受験生は、上記の問題を25分前後かけて解くと思うのですが、ある予備校のプロ講師は、これくらいの問題は大体2、3分で解いてしまうと言っていました。そこで、
高校の数学教師、予備校や塾のプロ数学講師、または、数学の得意な方にお尋ねします。この問題を解くのに何分くらいかかりますか。

No.1 ベストアンサー 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/06/21 02:47

昔得意だった一般人です。

実際に解いていませんが、たぶん15分くらいかかるのではないかな。
現役の学生だった頃なら5分くらい。
でもって間違いがないか確認に3分程度。

・・・
いつもこの手の問題を取り扱っている人なら、そりゃ2～3分で解けなければ糞野郎だろうと思う。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞現役の学生だった頃なら5分くらい。
でもって間違いがないか確認に3分程度。

これなら東大数学150分で120点取れそうですね。今のところ、119点取った人しか知りません。

＞いつもこの手の問題を取り扱っている人なら、そりゃ2～3分で解けなければ糞野郎だろうと思う。

そうですか。プロは凄いのですね。

お礼日時：2016/06/21 19:43

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2016/06/21 10:37

数学、特に代数学における代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。

代数学の標準的な記号 Q [ x ] {\displaystyle \ \mathbb {Q} [x]\ } で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って A {\displaystyle \ A\ } と書けば、
A = { a ∈ C | ( ∃ p ( x ) ∈ Q [ x ] ) [ p ( x ) ≠ 0 & p ( a ) = 0 ] } {\displaystyle A={\Big \{}a\in \mathbb {C} \ {\Big |}\ {\big (}\exists p(x)\in \mathbb {Q} [x]{\big )}{\big [}p(x)\neq 0\ \&\ p(a)=0{\big ]}{\Big \}}}
となる。


0 でない代数的数 θ に対して、sin θ は超越数である。もしそうでなければ、γ := 2i sin θ は代数的数であり、オイラーの公式より 2i sin θ = eiθ − e−iθ であるから、γ − eiθ + e−iθ = 0 となる。これは、定理において n = 3, α1 = 0, α2 = iθ, α3 = −iθ として得られる結果に矛盾する。よって、sin θ は超越数である。同様にして、 も超越数であることが分かる


ということらしいので、
ｎ/5　はｎが整数のときは代数的数
したがって、
ｎが０ではないときには、sin(π/5) は超越数

でも、
a+b=4a^2 - 3a + 1
となり、この値が有理数ならば、a は代数的数

これは、矛盾

したがって、私は（１）が間違っていて、証明できないと考えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞ｎ/5　はｎが整数のときは代数的数

見難いかもしれませんが、sin(π/5) の π/5 の部分は n (エヌ) ではなく π (パイ)です。

下に添付したサイトで問題が見られます。東大理科　1994前期　第2問です。
http://server-test.net/math/tokyo/q_pdf/1994_2.pdf

お礼日時：2016/06/21 19:49