数学についてです。 自然数全体の集合を S、その部分集合をU={3m+7n|m,nはSの要素}とお

数学についてです。

自然数全体の集合を S、その部分集合をU={3m+7n|m,nはSの要素}とおく。
このとき、U はある整数 k 以上のすべての整数を含むことを示せ。また、そのような k の最小値を求めよ。

このときmとnは自然数ですよね
だから ｍとｎは1以上であるから
3m+7n 代入して 10になるから kの最小値は10ではないのですか？
わかる方がいれば詳しく教えてもらえるとありがたいです。
回答よろしくお願いしますm(_ _)m

No.7 ベストアンサー 回答者： ざわざわざわ 回答日時： 2016/07/28 22:40

答えは22です。

n=1とすれば、
　3m+7=3(m+2)+1となり、10以上で、3で割った余りが1であると数は含まれることがわかる。

同様に、
n=2とすれば、17以上で3で割った余りが2である数は含まれ、
n=3とすれば、24以上で3で割った余りが0である数は含まれることがわかる。

したがって、22以上の全ての自然数は含まれることがわかる。
この22が最小であることを示すには21になるようなm,nが存在しないことをいえばよい。

No.6 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/07/28 22:21

失敬

24以上の数値は全て作れるです。

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/07/28 22:12

修正版

3m+7n=3(m＋2n)+n

n=1、2、3の場合が対象。
n=3の場合、24以上の3の倍数全てが含まれる。
n=1の場合、10以上で、7の倍数に3を足した数が含まれる。
n=2の場合、15以上で、7の倍数に10を足した数が含まれる。

式で表すと、
n=1の場合、3＋7x≡x(mod 3)
n=2の場合、10＋7x≡1+x(mod 3)
n=3の場合、21＋3x≡0(mod 3)

x、yは自然数とし、xを3y+1とすれば、ある値以上の数値は集合Uに含まれることがわかるので、23は作れないことはわかる。

従って23が求める最小値となる。

No.4 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/07/28 21:55

3m+7n=3(m＋2n)+n

n=1、2、3の場合が対象。
n=3の場合、24以上の3の倍数全てが含まれる。
n=1の場合、10以上の7の倍数に1を足した数が含まれる。
n=2の場合、15以上の7の倍数に2を足した数が含まれる。

n=1の場合、3＋7x≡x(mod 3)
n=2の場合、10＋7x≡1+x(mod 3)
n=3の場合、21＋3x≡0(mod 3)

x、yは自然数とし、xを3y+1とすれば、ある値以上の数値は集合Uに含まれることがわかるので、23は作れないことはわかるため。

23が求める最小値となる。

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/07/28 17:09

11 に加えて, 12, 14, 15, 18, 21 についてもお願いします.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/07/28 13:18

では, 11 を 3m+7n (m, n は自然数) の形で表してみてください.

この回答へのお礼

あ．．．値がないです。

お礼日時：2016/07/28 17:01

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/07/28 11:12

自然数が1以上の整数という定義を採用するならその通り。

中学や高校では正しいです。
でも自然数は0以上の整数という定義も有るので、
ー般的にはこれだけでは曖昧です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
高校の問題なので自然数は1以上の整数ということでお願いします。

お礼日時：2016/07/28 11:16