lim(n→∞)・b[n]→0のとき

lim(n→∞)・exp(-n)・Σ(k=1～n)・b[k]・exp(k)
はどのような値になり
どうしてそのような値になるのでしょうか?

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/08/02 21:13

ｂ[n]の極限が０になると言うことは

あるｘ（正の定数）を決めたとき十分大きなＮ（有限）に対して
ｎ＞Ｎであるb[n]の絶対値をｘより小さく出来ます。

そうするとＮまでの和（有限）とＮより大きな項の和
に分けて考えれば後ろの方の絶対値はｘexp(k)の和で抑えられる
ことになりこれは等比数列の和です。
和の公式で求めてやれば
定数かけるｘe^nになります。
ｘの決め方は自由に出来ますから、いくらでも小さくできて
e^-nを掛けた極限は０に出来る。

この回答へのお礼

ありがとうございます
0になることを似たような思考で推定して質問したのですがもう一つもやもやが取れません

x(t)+a(t)∫[s=0,t] x(s)ds =b(t) (t>=0)
は、a(t),b(t) がともに連続実数値で有界、
inf[t>=0]a(t)>0, lim[t->∞]b(t)=0 の時
lim[t->∞]x(t)=0

の証明に使えると思ったのですが・・・

お礼日時：2004/08/02 23:45

No.1 回答者： kurobe3463 回答日時： 2004/08/02 20:47

0かな

雑な計算ですが，
exp(-n)・Σ(k=1～n)・b[k]・exp(k)
=exp(-n)(b[1]exp(1)+b[2]exp(2)+…+b[n-1]exp(n-1)+b[n]exp(n))
=b[1]exp(1-n)+b[2]exp(2-n)+…+b[n-1]exp(-1)+b[n]exp(0)
で，
b[1]exp(1-n)+b[2]exp(2-n)+…
は n→∞　のとき exp(1-n)→0 ですからこの和は
ほとんど
b[n]
になります．
で b[n]　も　→0　だからこの極限は0
と予想されますが，
とても論証とはいえませんから，これを ε-δ論法で論証すれば確実ですね．論証してください＞だれか（＾＾）
つまり任意のε>0 に対してある自然数 n_0 が存在してn_0 より大きいすべての自然数 n で
|b[1]exp(1-n)+b[2]exp(2-n)+…+b[n-1]exp(-1)+b[n]exp(0)|<0
となることを示してください．
あ，極限が0 じゃなければだめだけど，いずれにしても他の極限がわかっている数列に還元できそうもないので，最後はε-δかな・・・と

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2004/08/02 23:34