２進数の減算について 10進数48-52を2進数にして減算する場合、48の2進数+52の2の補数とな

Question

２進数の減算について

10進数48-52を2進数にして減算する場合、48の2進数+52の2の補数となり結果11111100になるというところまでは分かったのですが、その後で最上位桁が1で負数になっている(2の補数表現)ので各桁を反転し+1して00000100=4。符号をつけて-4とあるのがよく分かりません。

1.なぜ最上位桁が1で負数を表していると2の補数表現なのですか?

2.2の補数表現ではなぜいけないのでしょうか?

3.2の補数表現を正すプロセスが2進数→1の補数→2の補数と同じですが、なぜですか?

4.最終的な結果として得られた00000100=4に勝手に「符号をつけて」-4としても良いのですか?この「符号をつけて」の発想は変換前の11111100が負数であったことから来ているのですか?

kmee · Accepted Answer

> 1. 2の補数表現した値+2の補数表現した値=2の補数表現した値とありますが48-52を２進数で計算する際に２の補数になるのは-52だけではないんですか?
> 3の質問に対して解説されているように-52を2の補数にすると自動的に48も2の補数として考えるのでしょうか?

「補数表現」と「補数」を混同しないようにしましょう。

補数表現は、
　正の値→ そのまま
　負の値→ 絶対値の補数
という変換をかけて、全てを「正の値」とて扱おうとするものです。
逆に、補数表現したものは
　元の値のまま使われている値→そのまま正の値に
　補数を使った値→ その補数から元の絶対値を求め、-1 倍する
という方法で元に戻ります。

48は2進で 00110000
52は2進で 00110100
00110000 - 00110100
= 00110000 + (-00110100)
　これを「補数表現」を使うと
 00110000 は正だからそのまま
　 -00110100 は負だから、 絶対値 00110100 の補数をとって 11001100
→ 00110000 + 11001100
= 11111100
　ここで、 11111100 は負の値を「補数表現」したものだから 元の値を求めます。
※ なぜ 11111100 が負の値なのか、はそうなるように決めたから。
　11111100 の補数 は 00000100 なので、これを -1 倍した
-00000100
となります。これは、10進数での -4 になります。

> 3.この式にのとって考えると２進数11111100=a 00000011=a' 00000100=Cという関係ですか?

違います。
2進8桁での2の補数ならば、 C=100000000 (2^8) です。
a=11111100 ならば、
a'=C-a 
a'=100000000-11111100
a'=00000100
です。

さて。
・ビットを反転させる 
ことは
・同桁の 111...1 から値を引く
ことと同じ、ということは理解できてますか? 2進8桁なら
a のビット反転 = 11111111 - a
です。

また、
11..1 (2進m桁) = 100..0(2進m+1桁) -1
つまり
11..1(2進m桁) = 2^m -1
であり、上で2の補数を求めるのに使ったCを使うと
11..1(2進m桁) = C -1
になります。
以上を合せると
a のビット反転 = (C-1) - a
となります。

aの2の補数を求める式は
C-a
です。これを
C-1 - a +1 = ((C-1) -a ) +1
と変形すれば「 a を反転( (C-1) -a ) してから +1 する」 となります。
C-1 - a +1 = (C-1) -(a -1)
と変形すれば「 a から1引いてから反転する」 となります。
※ 反転と +1/-1の順番に注意。「反転して-1」「+1してから反転」は別なものになります。

反転して+1とか、-1して反転とかは、計算するためのテクニックでしかありません。
10進数でも 
9 +5 = 9+1 + 5-1 = 10 +4 
とかいったテクニックがありますよね?

neKo_deux · Answer

> 2の補数の各桁を反転することとの共通点が掴めません。

２の補数で負数を表現している時に、10進数でいくつかわかりにくいから、一度反転して符号のない整数部分を考える。
負の10進数を２の補数で表すときに暗算できないので、正の10進数を一度考えて反転したり１足したり。
とか、計算上の都合です。

例えば、
次の２の補数表現の負数は、10進数でいくつ？
11010011

って言われてパッと答えられればいいんですが、フツーはそうでないので、
１引いて１の補数表現で表して、
11010010
反転して10進数の正の部分は、
00101101
32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45
なので、元の負数は-45とかってのがフツーの計算です。

--
反転とか１足すとか引くとかって機械的な暗記はキライなので、自分は、

２進数の△△△△△の１の補数☆☆☆☆☆は、
△△△△△
☆☆☆☆☆（＋
――――――――――――
１１１１１

になる数、結果ビット反転したモノ。
１桁の２進数で考えると、△＋☆＝１になる数。１を補う数。

２進数の△△△△△の２の補数◇◇◇◇◇は、
　△△△△△
　◇◇◇◇◇（＋
　――――――――――――
１０００００

になる数
１桁(ないし２桁)の２進数で考えると、△＋◇＝１０になる数。すなわち２(10)を補う数。

って覚えてます。

--
で、２の補数の何が便利なのか、何で２の補数使うのかというと、
例えば質問者さんが電子工作で４ビットの正の数を扱える加算機作ったとして、
┌─△
├─△
├─△
├─△
│
┤△△△△
┤◇◇◇◇（＋
┤―――――――――
┤？？？？
│
├─◇
├─◇
├─◇
└─◇
ここに２の補数を放り込むと、そのままで減算の演算もできちゃうって点です。
他の表現方式だと、一番上の符号を見て加算と減算を場合分けとか、めんどくさいです。

kmee · Answer

> 1.なぜ最上位桁が1で負数を表していると2の補数表現なのですか?

「2の補数表現した値」+「2の補数表現した値」=「2の補数表現した値」
という性質を利用しているのですから、
　結果11111100
は「2の補数表現した値」になっています。

> 3.2の補数表現を正すプロセスが2進数→1の補数→2の補数と同じですが、なぜですか?

元の値と、その補数は、互いの補数の関係になります。
a とその補数 a' とすると
a + a' =C
という関係があり、
a' = C - a
で求められるのが「aの補数 a'」です。
同様に
a = C - a'
となるので、「a'の補数a」でもあります。

少し前に補数について質問があって、いろいろ書いたので参考に。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9445854.html

neKo_deux · Answer

> 1.なぜ最上位桁が1で負数を表していると2の補数表現なのですか?

いえ。
２の補数で計算したから、結果の11111100が２の補数で表現されてますよって話では。
計算結果が10進数、上だと48-52の結果が一千百万いくつになってたらどうよ？とか想像してみるとか。

で、結果の11111100の２の補数って、10進でいくつよ？って考える時に、

> 2.2の補数表現ではなぜいけないのでしょうか?

問題が、「計算結果を２の補数で表せ」ならいいですが、正負の10進数で表さなきゃならないからでは。

> 4.最終的な結果として得られた00000100=4に勝手に「符号をつけて」-4としても良いのですか?この「符号をつけて」の発想は変換前の11111100が負数であったことから来ているのですか?

そこに行く前に、

> 負数になっている(2の補数表現)ので各桁を反転し

してるんだから、00000100は最終的な計算結果ではないです。

例えば、
-16-19-35
=-(16+19+35)

ここで、
16+19+35=70

って計算して、最終的な答えは70って言うのはどう思いますか？

２進数の減算について 10進数48-52を2進数にして減算する場合、48の2進数+52の2の補数とな

> 1. 2の補数表現した値+2の補数表現した値=2の補数表現した値とありますが48-52を２進数で計算する際に２の補数になるのは-52だけではないんですか?

> 2の補数の各桁を反転することとの共通点が掴めません。

> 1.なぜ最上位桁が1で負数を表していると2の補数表現なのですか?

> 1.なぜ最上位桁が1で負数を表していると2の補数表現なのですか?

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