この数学の問題の(1)の答えがa=3 以外わかりません。詳しい考え方を教えてください。

よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/25 15:34

その「a=3」というのは, どうやって出しましたか?

それ以外の値で「接する」というのが, どのような状況か想像できますか?

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2017/01/25 16:15

（１）が解ったと云う事ですが、a＝3　は放物線が円の上から接した点ですね。

グラフを書くと解ると思いますが、もう１点接する場所があります。　a＝－3　です。
これより a が小さな値で交点が４つ出来ます。
どこまでかと云うと、円と放物線が接する所までです。
y=x^2+a ⇒　x^2=y-2 これを円の方程式に代入、
(y-2)^2+y^2=9 ⇒　y^2+y-2-9=0
この式の判別式が０になれば、重婚を持つ（つまり接する）と云う事。
この接する直前までが交点が４つある事になりませんか。
多分答は　－3＞ a ＞－37/4　だと思いますが、計算して確認して下さい。

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/25 16:16

図的に考えると、y軸を上下方向と考えて

y=x^2+aというのは、y=x^2のグラフがy軸に沿って上下にa移動したものですね。
これが円と接するのは円の上端部と下端部です。
つまりa=3,-3の2点ですね。

計算式で考えると、
放物線の傾きは微分によって2xですね。
円の式をxで微分すると2x+2yy'=0
変形してy'=-x/y=-x/(±√(9-x^2))　となります。

接する条件は傾きが等しくなるということです。
y'=-x/(±√(9-x^2))=2x
x(2+(1/(±√(9-x^2))))=0
よってx=0or2+(1/(±√(9-x^2)))=0

x=0の時y=±3=a
よってa=±3

2+(1/(±√(9-x^2)))=0の時
2+(1/y)=0
y=-1/2
この時
x=±√35/2
y=-1/2=x^2+a=35/4+a
a=-1/2-35/4=-37/4
よってa=-37/4

これらによりa=±３,-37/4

No.4 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/25 16:21

前半の所書きもれてますね。

円の下端部に接した時、放物線は円の中を通っており、円は放物線の下で接しています。
もっと放物線のグラフを下げると、円の全てが放物線の上になり、その時2つの点で同時に接しています。

No.5 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2017/01/25 21:43

No2 です。

先ほどの回答で、時間が無かったので説明が中途半端になりました。　補足します。

問題文をグラフに書くと、、原点を中心とした半径３の円と、
Y軸上で a の値を頂点とする下に凸な放物線ですね。
a の値をだんだん小さくしていくと a=3 で頂点と円が接します。
a＞3 で放物線と円との交点が２つ出来ます。
更に a を小さくしていくと　 a=ー3 で縁の下の方で接します。
（この時は交点２つと接点１つですね。）
更に a を小さくしていくと、交点は４つになります。
それは放物線の内側が円の接するまで続きます。
その時がNo2で書いたYに関する２次方程式が重根を持つ時になります。
（NO2では変換ミスがありました、重婚⇒重根　ですね。すみませんでした。）

従って（２）の答えは　a＝－3　で放物線と円とが接した後　
a＝－37/4　で再び接するまでの間と云う事になります。
－３＞ a ＞－37/4　です、（イコールは入りません。）

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2017/01/25 22:06

度々すみません、NO2で入力ミスがありますので、訂正します。

５行目と６行目です。
「y=x^2+a ⇒　x^2=y-2 これを円の方程式に代入、
(y-2)^2+y^2=9 ⇒　y^2+y-2-9=0 」
以下に訂正。
[y=x^2+a　 ⇒　x^2=y-a これを円の方程式に代入、
(y-a)^2+y^2=9 　⇒　y^2+y-a-9=0 　⇒　y^2+yー(a+9) ]
判別式　D=4a+37＝0　⇒　a＝－37/4